GUÍA ELEMENTAL DE LA GEOMETRÍA CONCEPTOS GEOMÉTRICOS ELEMENTALES PARA EL ANÁLISIS Y ESTUDIO DEL ASALTO Y SUS MEDIOS ACADEMIA DE ESGRIMA LÁSER Marcelino Miguel Castro Maestro en la disciplina de la Esgrima Láser Kigen de la Academia de Esgrima Láser Linares, 2023 Queda terminantemente prohibida la copia y reproducción parcial o total del contenido de este volumen, sin consentimiento expreso del Kigen de la Academia de Esgrima Láser. Si el permiso de difusión o copia de este libro fuese concedido, se habrá de nombrar este volumen como fuente, así como los autores del mismo. “Esgrima Láser” y “Academia de Esgrima Láser” son marcas registradas, sujetas a las normas de la propiedad intelectual de España, 2023. Queda prohibido el uso de estos términos para la descripción, publicidad o fines comerciales de entidades terceras, sin permiso expreso del Kigen de la Academia de Esgrima Láser. ACADEMIA DE ESGRIMA LÁSER - MAESTRO MARCELINO MIGUEL. 2023. © (TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS) Primera edición - NRA: AELMM20231123001 ÍNDICE Introducción Preámbulo 3 Breve historia de la geometría Geometría en Egipto 7 Geometría en Grecia 9 Geometría en china 19 Geometría en la India 21 Geometría árabe e islámica 23 Geometría analítica 27 Generalidades de la geometría Definición de la geometría 31 Elementos geométricos elementales 33 Postulados generales de la geometría 35 Clasificación de la geometría 39 Geometría euclidiana Propiedades de existencia 43 Propiedades de congruencia 44 Punto 45 Recta 46 Segmento 47 Rayo 48 Plano 49 Ángulos 51 Triángulos 53 Cuadriláteros 59 Polígonos regulares e irregulares 63 Circunferencia 67 Geometría métrica, distancia y norma 73 Perímetro y área 75 Teorema de Pitágoras 77 Teorema de Herón 79 Teorema de Tales 81 Geometría espacial Geometría espacial, generalidades 87 Espacio tridimensional 91 Poliedros 95 Cuerpos redondos 99 Poliedros de Arquímedes y de Kepler-Poinsot 101 Geometría algebraica Coordenadas cartesianas y polares 105 Vectores 107 Matrices 111 Curvas y superficies algebraicas 113 Geometría no euclidiana Geometría no euclidiana, generalidades 117 Geometría elíptica 119 Geometría hiperbólica 121 Geometría proyectiva 123 Geometría afín 125 Geometría diferencial 127 Bibliografía 131 INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN 3 Preámbulo: La geometría es la disciplina, matemática y científica, que estudia las formas, las medidas, las posiciones y las relaciones de los objetos en el espacio. La geometría ha sido, es y será una herramienta fundamental para comprender y describir el universo al que pertenece el ser humano, así como para resolver problemas prácticos de diversas disciplinas, y hacerlo de una manera eficiente. Entre las disciplinas beneficiadas del análisis geométrico se encuentra la esgrima, en cualquiera de sus formas. Sin embargo, la Esgrima Láser tiene una naturaleza filosófica que la hace más propicia para ser estudiada y hacer estudio de la geometría, pues esta es el núcleo ontológico, y contenido, de la concepción práctica de los recursos marciales de los que dispone y desarrolla. “El conocimiento de la geometría dará luz para distinguir lo eficiente de lo meramente eficaz.” Este libro tiene como objetivo hacer que el esgrimista, o cualquier otro estudiante marcial, se familiarice con la geometría como elemento y herramienta más fundamental del análisis de lo acontecido y acontecible en el asalto, que condicionará su obra. Se podría decir que este volumen ilustra al lector de manera universal, sin embargo, resulta ser un libro idealmente destinado al estudiante académico de esgrima, pues esta utiliza la geometría como lenguaje y como método. Las virtudes del estudio de la geometría se ven magnificadas al aplicarse a la Esgrima Láser, pues el desarrollo, comprensión y aplicación de esta es directamente sostenido en la geometría que junto a la dinámica y el propósito, conforman la obra esgrimística en su totalidad. “La Esgrima Láser está sostenida en la geometría, en la dinámica y el conocimiento que atribuye propósito a la obra.” Con este volumen no se pretende enseñar fórmulas o teoremas, pese a estar presentes y/o ser explicados, sino que el propósito es mostrar la geometría en sus conceptos más elementales, explicándolos para evitar ambigüedades y equívocos al ser receptor de un discurso formal y académico. Siendo así, el mero conocimiento de la existencia de los conceptos geométricos hará que un individuo adquiera una perspectiva ilustrada sobre la configuración del medio y los eventos, que puede ayudar a hacer más fácil el análisis, llegando a producirse este de manera inconsciente. Por tanto, la adquisición y comprensión los términos técnicos tenderá a aumentar la eficiencia en el rendimiento, la técnica y la táctica del esgrimista, tanto dentro como fuera del asalto, asistiendo evitar el conflicto, o al menos, a gestionar sus causas y efectos. INTRODUCCIÓN4 “Un tirador será más eficiente con tan solo conocer los distintos elementos que componen en análisis geométrico.” Para lograr este propósito, el libro no contiene ilustraciones, sino que se basa en la descripción verbal de los elementos, conceptos y organizaciones posibles de la geometría. De esta manera, se busca estimular la abstracción, la imaginación, la visualización espacial y la consciencia posicional del lector, así como desarrollar su capacidad de razonamiento lógico y deductivo. Se espera que el lector sea capaz abstraer, y crear en su mente las imágenes virtuales que corresponden a las palabras, haciendo que pueda aplicarlas a su propia práctica de la esgrima, llenando esta de razón y sentido. Un desafío presente es el de dominar el lenguaje específico de la Esgrima Láser, que es notablemente más profundo y complejo que el de la esgrima clásica. El léxico de la Esgrima Láser abarca desde los términos propios de la física y la óptica, hasta los términos propios de la geometría, siendo estos instrumentos básicos para la correcta comprensión e interacción entre tiradores, concretamente en el contexto académico y didáctico. Es por ello, que se precisa que exista un trabajo como el que contiene estas líneas, que pueda auxiliar al lector y asistirle a adquirir la terminología, a comprenderla y a aplicarla a aquello que pueda ser necesario. “Se puede afirmar que la profundidad del léxico de la Esgrima Láser y la compresión de la geometría, sin ayuda de ilustraciones pictóricas, son dos aspectos que contribuyen al enriquecimiento y al perfeccionamiento de la Esgrima Láser como disciplina marcial, así como al desarrollo intelectual y cultural de sus practicantes.” Se espera que este libro sea de utilidad y de interés para todos los estudiantes de la Esgrima Láser o cualquier practicante de esta que pueda precisar la revisión de lo sabido. Así mismo, se pretende que este volumen pueda ilustrar a cualquier otro lector, con la suficiente curiosidad, que pretenda profundizar en las entrañas del conocimiento, entendiendo los aspectos fundamentales con los que analizamos nuestra realidad. “Este libro pretende iluminar al lector, acrecentando su conocimiento sobre la geometría, llevándole con ello a entender con precisión las causas y efectos del uso de las armas, así como a evitarlo.” ———— BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA7 Geometría en Egipto: El origen de la geometría se remonta a la cultura egipcia, en el IV milenio a.C., cuando los egipcios inventaron un sistema de numeración y de escritura jeroglífica, que incluía símbolos geométricos para representar números y conceptos matemáticos. Los egipcios utilizaban la geometría para medir y delimitar las tierras de cultivo, que se veían afectadas por las crecidas y las bajadas del río Nilo. También empleaban la geometría para construir edificios, monumentos, canales y embalses. El primer documento matemático egipcio que se conserva es el Papiro de Moscú, que data del siglo XVIII a.C. Este papiro contiene 25 problemas de geometría, aritmética y álgebra, que se resuelven mediante métodos empíricos y algoritmos. Entre los problemas geométricos, se encuentran el cálculo del área de un triángulo, de un trapecio, de un círculo y de una superficie curva, así como el cálculo del volumen de una pirámide truncada y de un cilindro. El segundo documento matemático egipcio que se conserva es el Papiro de Ahmes, que data del siglo XVI a.C. Este papiro contiene 87 problemas de geometría, aritmética, álgebra y teoría de números, que se resuelven mediante métodos similares a los del Papiro de Moscú. Entre los problemas geométricos, se encuentran el cálculo del área de un rectángulo, de un cuadrado, de un rombo, de un hexágono regular y de un círculo, así como el cálculo del volumen de una pirámide, de un prisma y de una esfera. El Papiro de Ahmes también contiene el valor aproximado de Π, que se obtiene al dividir el área de un círculo por el cuadrado de su diámetro, dando como resultado 256/81, que es equivalente a 3,1605. El tercer documento matemático egipcio que se conserva es el Papiro de Kahun, que data del siglo XVIII a.C. Este papiro contiene problemas de geometría, aritmética y álgebra, que se relacionan con la administración, la contabilidad, la medicina y la astronomía. Entre los problemas geométricos, se encuentran el cálculo del área de un triángulo, de un rectángulo y de un trapecio, así como el cálculo de la longitud de la sombra proyectada por un gnomon o reloj de sol. BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA8 El cuarto documento matemático egipcio que se conserva es el Papiro de Berlín, que data del siglo XVIII a.C. Este papiro contiene problemas de geometría, aritmética y álgebra, que se relacionan con la construcción, la ingeniería y la astronomía. Entre los problemas geométricos, se encuentran el cálculo del área de un círculo, de un trapecio y de una elipse, así como el cálculo del volumen de una pirámide, de un cono y de una esfera. El Papiro de Berlín también contiene el valor aproximado de la raíz cuadrada de 2, que se obtiene al sumar 1 y 1/3 de 1/3 de 1/9, dando como resultado 1,4142. Estos documentos muestran que los egipcios tenían un conocimiento avanzado de la geometría plana y espacial, así como de las proporciones y las semejanzas. Sin embargo, los egipcios no desarrollaron una geometría deductiva, basada en la lógica y la demostración, como lo hicieron los griegos posteriormente. Según los registros arqueológicos, los egipcios se limitaban a aplicar fórmulas y algoritmos, sin explicar ni justificar sus procedimientos. La geometría egipcia fue, en gran medida, la precursora de la geometría griega, que alcanzó su máxima expresión con Euclides y su obra Los Elementos. BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA9 Geometría en Grecia: La geometría griega es una de las más importantes ramas de la matemática, que se desarrolló desde el siglo VI a.C. hasta el siglo III d.C. Los matemáticos griegos, inspirados por las culturas egipcia, mesopotámica e india, hicieron grandes descubrimientos y aportaciones a la geometría, que sentaron las bases de la geometría moderna. Tales de Mileto: El inicio de la geometría griega se atribuye a Tales de Mileto (hacia 624 a.C. 546 a.C.), considerado el primer filósofo y el primer matemático de la historia. Tales viajó a Egipto, donde aprendió geometría de los sacerdotes, y la aplicó a problemas prácticos, como el cálculo de la altura de las pirámides y la distancia de los barcos desde la costa. En su trabajo y desarrollo, introdujo el concepto de demostración, es decir, la justificación lógica de una afirmación a partir de principios aceptados. Se le atribuyen varios teoremas, como el que afirma que los ángulos opuestos por el vértice son iguales, o el que establece que un ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. Tales, por ser pionero y clave para el entendimiento de las matemáticas y la filosofía universal, es tomado para dar nombre a uno de los compases más elegantes de la Esgrima Láser. Este es el llamado compás de Tales, que resulta ser una herramienta fundamental para el tirador avanzado, pues posibilita una planta en línea de manera eficiente. Compás de Tales: El compás de Tales es aquel medio compás transversal extraño de alcance al lado hábil, que desde una planta transversal de medio recto, hábil y relajada, dará lugar a una planta en línea de medio recto, hábil y relajada. El compás de Tales genera el tránsito transversal en ruptura mínimo funcional, con una ganancia de recta escasa, nula o negativa, y una desviación de recta al lado hábil, emergiendo la triangulación sobre el plano inferior, mientras el agente aumenta sutilmente el diámetro común, posibilitando su salida del medio proporcional paciente y quedando predispuesto para la obra con acción accidental del arma, potencialmente asistida por el tumbado de cuerpo. BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA10 Pitágoras de Samos: El discípulo de Tales, Pitágoras de Samos (hacia 582 a.C. - 507 a.C.), fundó una escuela filosófica y religiosa, conocida como los pitagóricos, que se dedicó al estudio de las matemáticas, la música, la astronomía y la ética. Los pitagóricos creían que todo estaba regido por los números y las proporciones, y que la geometría era la clave para comprender el orden del cosmos. Estos descubrieron las ternas pitagóricas, es decir, los conjuntos de tres números enteros que cumplen el teorema de Pitágoras, que relaciona los lados de un triángulo rectángulo. También descubrieron la existencia de los números irracionales, es decir, los que no se pueden expresar como el cociente de dos números enteros, como la raíz cuadrada de dos, que es la razón entre la diagonal y el lado de un cuadrado. Este descubrimiento supuso una crisis para los pitagóricos, que cuestionaba su visión aritmética del mundo. Pitágoras, por su importancia en la filosofía universal y otras disciplinas, se toma como ejemplo en la Esgrima Láser, otorgándole su nombre a una de las expresiones más elementales de esta, como es el compás de Pitágoras. Dicho compás será un recurso fundamental de la destreza laserina, que posibilitará organizar la planta en línea, aportando adicionalmente una sutil ganancia y desviación de recta, que dará lugar a un leve y funcional desfase del agente. Compás de Pitágoras: El compás de Pitágoras es aquel medio compás transversal de alcance al lado no hábil, que desde una planta transversal de medio recto, hábil y relajada, dará lugar a una planta en línea de medio recto, hábil y relajada. El compás de Pitágoras genera el tránsito transversal mínimo funcional, en marcha, con una sutil ganancia y desviación de recta al lado no hábil, haciendo que emerja la triangulación sobre el plano inferior, posibilitando la introducción del paciente en el medio proporcional agente, de manera eficiente y elegante, auxiliado por un ligero desfase del foco paciente, quedando predispuesto para la obra con acción accidental del arma, potencialmente asistida por el tumbado de cuerpo. Adicionalmente, también se le atribuye el nombre de planta de Pitágoras a la planta en línea a la que da lugar el compás de Pitágoras, por el uso constante de este último para mutar la organización de la planta. BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA11 Hipaso de Metaponto: El sucesor de Pitágoras, Hipaso de Metaponto (hacia 500 a.C. - 450 a.C.), fue el primero en demostrar la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos, mediante un método de reducción al absurdo. Hipaso también se interesó por la geometría de las figuras regulares, y descubrió el quinto sólido platónico, el dodecaedro, que tiene doce caras pentagonales. “Según la leyenda, Hipaso fue asesinado por sus compañeros pitagóricos, por revelar estos secretos a los profanos.” Anaxágoras de Clazómenas: El contemporáneo de Hipaso, Anaxágoras de Clazómenas (hacia 500 a.C. - 428 a.C.), fue el primero en explicar el eclipse solar como el resultado de la interposición de la Luna entre el Sol y la Tierra. Anaxágoras también fue el primero en sugerir que la Luna refleja la luz del Sol, y que tiene montañas y valles. “Anaxágoras fue acusado de impiedad por sus ideas, y tuvo que huir de Atenas.” Arquitas de Tarento: El alumno de Anaxágoras, Arquitas de Tarento (hacia 428 a.C. - 347 a.C.), fue un destacado matemático, filósofo, inventor, estratega y político. Arquitas fue el primero en resolver el problema de la duplicación del cubo, es decir, el de hallar el lado de un cubo que tenga el doble de volumen que otro dado. Resolvió el problema mediante la construcción de una curva tridimensional, llamada la hélice de Arquitas, que se obtiene al hacer girar una línea recta alrededor de un cilindro, concretamente siendo la curva de intersección de un toro y un cilindro. Este filósofo construyó el primer modelo de un objeto volador del que se tiene constancia, llamado la paloma de Arquitas, que era una figura de madera que podía volar. BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA12 Platón de Atenas: El discípulo de Arquitas, Platón de Atenas (hacia 427 a.C. - 347 a.C.), fue el más influyente filósofo de la antigüedad, y el fundador de la Academia, la primera institución de enseñanza superior del mundo occidental, de la que la Academia de Esgrima Láser se vale para concebirse como entidad dedicada al conocimiento en general, y al estudio del conflicto en particular. “Platón consideraba que las matemáticas eran el camino para acceder al conocimiento de las ideas, que son las realidades eternas e inmutables que se encuentran más allá del mundo sensible.” Platón, entre otros muchos asuntos, se interesó por la geometría de los sólidos regulares, y los relacionó con los elementos de la naturaleza: el tetraedro con el fuego, el cubo con la tierra, el octaedro con el aire, el icosaedro con el agua y el dodecaedro con el universo. Este ilustre filósofo planteó el problema de la construcción de los sólidos platónicos con regla y compás, que fue resuelto por su alumno Eudoxo de Cnido (hacia 408 a.C. 355 a.C.). Eudoxo de Cnido: Eudoxo de Cnido fue un destacado matemático, astrónomo y geógrafo, que hizo importantes aportaciones a la geometría y a la teoría de las proporciones. Eudoxo desarrolló el método exhaustivo, que consiste en aproximar el área o el volumen de una figura curva mediante el de una figura poligonal o poliédrica, que la contiene o la circunscribe. Además, introdujo el concepto de magnitud conmensurable, es decir, aquella que se puede medir con una misma unidad, y el concepto de magnitud inconmensurable, es decir, aquella que no se puede medir con una misma unidad, como la diagonal y el lado de un cuadrado. Eudoxo formuló la teoría de las proporciones, que permite comparar magnitudes de cualquier tipo, sean conmensurables o inconmensurables, mediante el uso de razones y proporciones. Esta teoría fue recogida por Euclides en el Libro V de los Elementos, y es la base de la geometría clásica. BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA13 Menecmo de Alopece: Contemporáneo a Eudoxo, Menecmo de Alopece (hacia 380 a.C. - 320 a.C.), fue un matemático y geómetra, que se especializó en el estudio de las cónicas, es decir, las curvas que se obtienen al cortar un cono circular recto por un plano. Menecmo descubrió las tres cónicas principales: la elipse, la parábola y la hipérbola, y las denominó así por la relación entre el ángulo del plano y el ángulo del cono. Menecmo también resolvió el problema clásico de la duplicación del cubo, mediante la intersección de dos parábolas, y el problema de la trisección del ángulo, mediante la intersección de una recta y una hipérbola. Teeteto de Atenas: El alumno de Menecmo, Teeteto de Atenas (hacia 369 a.C. - 369 a.C.), fue un matemático y filósofo, que se dedicó al estudio de la geometría y de la teoría de los números. “Teeteto clasificó los cinco sólidos platónicos, y demostró que no hay más.” Teeteto también clasificó los números irracionales en cuatro tipos: los que se obtienen al extraer la raíz cuadrada de un número entero, los que se obtienen al extraer la raíz cúbica de un número entero, los que se obtienen al extraer la raíz cuadrada de un número que se obtiene al extraer la raíz cúbica de un número entero, y los que se obtienen al extraer la raíz cúbica de un número que se obtiene al extraer la raíz cuadrada de un número entero. “Platón usa a Teeteto como principal interlocutor de Sócrates en sus diálogos, “El sofista” y propiamente el de “Teeteto”. Teeteto también estudió los números figurados, es decir, los que se pueden representar mediante puntos dispuestos en forma de figuras geométricas, como los números triangulares, los números cuadrados, los números pentagonales, etc. “Teeteto murió joven, a causa de una herida recibida en la batalla de Corinto.” Su obra fue recogida y ampliada por Euclides en el Libro X de los Elementos. BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA14 Euclides de Alejandría: El discípulo de Teeteto, Euclides de Alejandría (hacia 325 a.C. - 265 a.C.), fue el más famoso y el más influyente matemático de la antigüedad, y el autor de la obra más importante y más difundida de la geometría, Los Elementos. Los Elementos son una colección de trece libros, que recopilan y sistematizan los conocimientos geométricos de los matemáticos anteriores, y que presentan la geometría como una ciencia deductiva, basada en la lógica y la demostración. Esta obra de Euclides parte de cinco axiomas o nociones comunes, que son principios evidentes que se aceptan sin demostración, y de cinco postulados o peticiones, que son principios que se asumen como verdaderos, que sin embargo no se pueden demostrar con los axiomas. A partir de estos principios, Euclides llega a conclusiones diversas, deduciendo numerosas proposiciones, que demuestra. “Euclides deduce más de 450 proposiciones o teoremas, que se demuestran mediante una cadena de razonamientos lógicos.” Los Elementos abarcan la geometría plana, la geometría espacial, la teoría de las proporciones, la teoría de los números y la geometría de las cónicas. Los Elementos son la obra matemática más exitosa y más influyente de la historia, que ha sido traducida, comentada, adaptada y estudiada por más de dos mil años, y que ha servido de modelo y de inspiración para otras obras de geometría y de otras disciplinas. Arquímedes de Siracusa: Arquímedes de Siracusa (hacia 287 a.C. - 212 a.C.), fue un matemático, contemporáneo de Euclides, que también alcanzó una más que notable relevancia como físico e ingeniero de la antigüedad, siendo el inventor de numerosos dispositivos y máquinas, como la palanca, la polea, el tornillo, la espiral, el espejo ardiente, etc. Arquímedes hizo importantes aportaciones a la geometría, especialmente a la geometría métrica, que se ocupa del cálculo de áreas, perímetros, volúmenes y superficies. Este matemático de Siracusa utilizó el método exhaustivo de Eudoxo para aproximar el valor de Π, que se obtiene al circunscribir e inscribir polígonos regulares en un círculo, y para calcular el área y el volumen de figuras curvas, como la elipse, la parábola, la esfera, el cilindro, el cono, etc. BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA15 Arquímedes también descubrió el principio de la hidrostática, que establece que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del fluido desalojado. “Arquímedes murió asesinado por un soldado romano, durante el sitio de Siracusa, mientras estaba absorto en un problema geométrico.” Apolonio de Perga: El sucesor de Arquímedes, Apolonio de Perga (hacia 262 a.C. - 190 a.C.), fue un destacado matemático, astrónomo y geómetra, que se especializó en el estudio de las cónicas, es decir, las curvas que se obtienen al cortar un cono circular recto por un plano. Apolonio escribió una obra monumental, titulada “Sobre las cónicas”, que consta de ocho libros, de los cuales se conservan siete. En esta obra, Apolonio demostró más de 300 proposiciones sobre las propiedades y las características de las cónicas, y las aplicó a problemas de óptica, de mecánica y de astronomía. Apolonio introdujo los términos de vértice, foco, directriz, eje, lado recto, excentricidad y ordenada de una cónica, y demostró que las cónicas se pueden obtener al seccionar un cilindro o una esfera, además de un cono. Apolonio también resolvió el problema de la construcción de las cónicas con regla y compás, y el problema de la determinación de los lugares geométricos, es decir, el conjunto de puntos que cumplen una determinada condición. Apolonio es considerado el padre de la geometría analítica, que se ocupa de la representación y el estudio de las curvas mediante ecuaciones algebraicas. Eratóstenes de Cirene: El discípulo de Apolonio, Eratóstenes de Cirene (hacia 276 a.C. - 194 a.C.), fue un polímata y un sabio, que se dedicó al estudio de la geometría, la astronomía, la geografía, la historia, la literatura y la filología. Fue el director de la Biblioteca de Alejandría, el mayor centro de cultura y de saber de la antigüedad, con notable diferencia. Eratóstenes hizo importantes aportaciones a la geometría y a la geografía, como el cálculo de la circunferencia de la Tierra, que se basó en la medición de la longitud de la sombra proyectada por un gnomon o reloj de sol en dos ciudades situadas en el mismo meridiano, mas a diferente latitud. BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA16 Eratóstenes también inventó el algoritmo conocido como la criba de Eratóstenes, que permite hallar los números primos menores que un número dado, mediante la eliminación sucesiva de los múltiplos de los números naturales. Eratóstenes también elaboró el primer mapa del mundo conocido, basado en la división de la Tierra en paralelos y meridianos, y en la estimación de las distancias entre los lugares más importantes. Aristarco de Samos: El contemporáneo de Eratóstenes, Aristarco de Samos (hacia 310 a.C. - 230 a.C.), fue un destacado matemático, astrónomo y geómetra, que fue el primero en proponer el modelo heliocéntrico del sistema solar, es decir, el que sitúa al Sol en el centro, y a los planetas, incluida la Tierra, girando alrededor de él. Aristarco también fue el primero en estimar las distancias y los tamaños relativos del Sol, la Luna y la Tierra, mediante la observación de los eclipses y de las fases lunares. Él utilizó la geometría para demostrar que el Sol es mucho más grande que la Tierra, y que la Tierra es mucho más grande que la Luna, y para calcular el ángulo que forman el Sol y la Luna vistos desde la Tierra, que es aproximadamente de 87 grados. Aristarco también determinó la duración del año solar, que es el tiempo que tarda la Tierra en completar una órbita alrededor del Sol, que es de unos 365 días y 6 horas. Hiparco de Nicea: El sucesor de Aristarco, Hiparco de Nicea (hacia 190 a.C. - 120 a.C.), fue el más grande astrónomo y geógrafo de la antigüedad, y el fundador de la trigonometría, que es la rama de la geometría que se ocupa del estudio de las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Hiparco compiló el primer catálogo estelar, que contiene la posición y el brillo de más de 800 estrellas, y descubrió el fenómeno de la precesión de los equinoccios, que es el cambio gradual de la orientación del eje de rotación de la Tierra, que provoca el desplazamiento de los puntos donde el Sol cruza el ecuador celeste. Hiparco también inventó el sistema de coordenadas celestes, que permite localizar los objetos astronómicos en la esfera celeste, mediante el uso de la ascensión recta, la declinación, la longitud y la latitud celestes. Además, elaboró el primer mapa del mundo basado en la proyección estereográfica, que consiste en proyectar la superficie de una esfera sobre un plano tangente a ella. BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA17 Hiparco también desarrolló la trigonometría, y construyó la primera tabla de cuerdas, que es el antecedente de la tabla de senos, y que permite calcular la longitud de la cuerda que une dos puntos de una circunferencia, conocido el ángulo que forman los radios que pasan por dichos puntos. Menelao de Alejandría: El discípulo de Hiparco, Menelao de Alejandría (hacia 70 d.C. - 140 d.C.), fue un destacado matemático, astrónomo y geómetra, que se especializó en el estudio de la geometría esférica, que es la que se ocupa de las propiedades y las relaciones de los objetos que se encuentran en la superficie de una esfera. Este hombre escribió una obra titulada Sobre la esfera, que contiene seis libros, de los cuales se conservan tres. En esta obra, Menelao demostró el teorema que lleva su nombre, que establece que la suma de los cosenos de los ángulos de un triángulo esférico, multiplicados por los senos de los lados opuestos, es igual al producto de los senos de los lados del triángulo. Este teorema es el análogo esférico del teorema de Pitágoras, y permite resolver los triángulos esféricos, que son los que se forman al cortar una esfera por tres planos que pasan por su centro. Menelao también introdujo el concepto de la anamorfosis, que es la deformación de una imagen producida por una proyección geométrica, como la que se produce al proyectar la superficie de una esfera sobre un plano. Herón de Alejandría: El contemporáneo de Menelao, Herón de Alejandría (hacia 10 d.C. - 70 d.C.), fue un destacado matemático, físico e ingeniero, que se dedicó al estudio de la geometría, la mecánica, la óptica y la neumática. Herón escribió varias obras, entre las que se destacan la Métrica, que trata sobre el cálculo de áreas, perímetros, volúmenes y superficies de figuras planas y sólidas, la Geometría práctica, que trata sobre la construcción de figuras geométricas con regla y compás, la Catóptrica, que trata sobre la reflexión de la luz en los espejos, y la Neumática, que trata sobre el uso del aire y del agua para mover máquinas y dispositivos. “Herón formuló el teorema que lleva su nombre, que establece que el área de un triángulo es igual a la raíz cuadrada del producto de su semiperímetro por las diferencias entre el semiperímetro y cada uno de sus lados.” BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA18 El teorema de Herón permite calcular el área de un triángulo sin conocer sus ángulos, y se puede generalizar a otros polígonos. Herón también inventó el primer motor de vapor, llamado la eolípila, que consiste en una esfera hueca con dos tubos que salen de sus polos, y que gira al escapar el vapor de agua que se genera al calentar la esfera. Ptolomeo de Alejandría: El sucesor de Herón, Ptolomeo de Alejandría (hacia 100 d.C. - 170 d.C.), fue el más grande astrónomo y geógrafo de la antigüedad, y el autor de la obra más importante y más influyente de la astronomía, el Almagesto. El Almagesto es una obra de trece libros, que recopila y sistematiza los conocimientos astronómicos de los matemáticos anteriores, y que presenta el modelo geocéntrico del sistema solar, es decir, el que sitúa a la Tierra en el centro, y al Sol, la Luna y los planetas girando alrededor de ella en órbitas circulares y uniformes. Ptolomeo utilizó la geometría y la trigonometría para calcular las posiciones, los movimientos y los fenómenos de los cuerpos celestes, y para construir tablas y catálogos que permitían predecir los eclipses, las fases lunares, las estaciones, etc. Ptolomeo también escribió una obra de ocho libros, titulada Geografía, que contiene una descripción y una representación del mundo conocido, basada en la división de la Tierra en paralelos y meridianos, y en la estimación de las coordenadas geográficas de más de 8000 lugares. “Ptolomeo es considerado el padre de la astronomía y de la geografía, que se basan en la observación, la medición y el cálculo geométrico.” En síntesis: Estos matemáticos muestran que los griegos tenían un conocimiento profundo y riguroso de la geometría, así como una gran capacidad de abstracción, de generalización y de demostración. Los griegos desarrollaron una geometría deductiva, basada en la lógica y la demostración, que se convirtió en el modelo y el paradigma de la geometría clásica. Los griegos también aplicaron la geometría a otros campos del saber, como la astronomía, la geografía, la óptica, la mecánica y la arquitectura. La geometría griega fue la precursora de la geometría moderna, que se desarrolló a partir de los siglos XVI y XVII, con el surgimiento de la geometría analítica, la geometría no euclidiana, la geometría diferencial y la geometría fractal, entre otras ramas. BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA19 Geometría en china: El origen de la geometría china se remonta al siglo III a.C., cuando se escribió el Mo Jing, que es un tratado de lógica y de matemáticas, atribuido al filósofo Mozi. El Mo Jing contiene problemas de geometría plana y espacial, como el cálculo del área de un cuadrado, de un rectángulo, de un triángulo, de un trapecio, de un círculo y de un anillo, así como el cálculo del volumen de una pirámide, de un prisma, de un cilindro y de una esfera. El Mo Jing también contiene el valor aproximado de Π, que se obtiene al multiplicar el diámetro de un círculo por 3, que es equivalente a 3. El Mo Jing también contiene el teorema de Pitágoras, que se demuestra mediante un método geométrico, y el problema de la trisección del ángulo, que se resuelve mediante la construcción de una curva llamada la cuadratriz, que se obtiene al hacer girar una línea recta alrededor de un punto fijo. El desarrollo de la geometría china se produjo entre los siglos I a.C. y III d.C., cuando se escribieron los Nueve capítulos sobre el arte matemático, que son una colección de problemas y soluciones sobre aritmética, álgebra, geometría y trigonometría. “Los Nueve capítulos se basan en la geometría práctica, que se ocupa de la medición y la construcción de figuras geométricas con regla y cuerda.” Los Nueve capítulos contienen problemas de geometría plana y espacial, como el cálculo del área de un polígono, de un sector circular, de un segmento circular y de una superficie curva, así como el cálculo del volumen de un cono, de una esfera, de un cilindro y de un toro. Los Nueve capítulos contienen una aproximación al valor de Π, que se obtiene al sumar 62832/20000, que es equivalente a 3,1416. Los Nueve capítulos también contienen el teorema del seno, que relaciona los lados y los ángulos de un triángulo cualquiera, y el teorema de la tangente, que relaciona los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. El auge de la geometría china se dio entre los siglos VII y XIII d.C., cuando se escribieron los Clásicos matemáticos, que son tratados de matemáticas y de astronomía, que se basan en la geometría teórica, que se ocupa de la demostración y la generalización de las propiedades y las relaciones de las figuras geométricas. BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA20 Los Clásicos matemáticos contienen problemas de geometría plana y espacial, como el cálculo del área de un triángulo, de un cuadrilátero, de un pentágono, de un hexágono y de un polígono regular, así como el cálculo del volumen de una pirámide, de un tetraedro, de un octaedro, de un icosaedro y de un poliedro regular. Los Clásicos matemáticos también albergan el valor de Π, que se obtiene al sumar 104348/33215, que es equivalente a 3,141592. Esta obra también posee, en su interior, una versión del teorema de Herón, que establece que el área de un triángulo es igual a la raíz cuadrada del producto de su semiperímetro por las diferencias entre el semiperímetro y cada uno de sus lados, y el teorema de Brahmagupta, que establece que el área de un cuadrilátero cíclico, es decir, que se puede inscribir en una circunferencia, es igual a la raíz cuadrada del producto de las diferencias entre el semiperímetro y cada uno de sus lados. Los Clásicos matemáticos introducen el concepto de la función coseno, que se define como la razón entre el lado adyacente y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, y que se utiliza para calcular las distancias y las alturas de los objetos. Estos textos muestran que los chinos tenían un conocimiento profundo y original de la geometría, así como una gran capacidad de cálculo, de aproximación y de demostración. Los chinos desarrollaron una geometría práctica, teórica y algebraica, que se convirtió en una de las más avanzadas y completas de la antigüedad. Los chinos aplicaron la geometría a otros campos del saber, como la astronomía, la geografía, la óptica, la mecánica y la arquitectura. “La geometría china fue la precursora de la geometría árabe, persa e islámica, que se desarrolló a partir del siglo IX d.C., con la traducción al árabe de las obras de los matemáticos chinos.” BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA21 Geometría en la India: El origen de la geometría india se remonta al siglo VIII a.C., cuando se compusieron los Sulba Sutras, que son textos que contienen reglas y fórmulas para la construcción de altares y sacrificios rituales. Los Sulba Sutras se basan en la geometría práctica, que se ocupa de la medición y la construcción de figuras geométricas con regla y cuerda. Estos textos contienen problemas de geometría plana y espacial, como el cálculo del área de un cuadrado, de un rectángulo, de un triángulo, de un círculo y de una elipse, así como el cálculo del volumen de una pirámide, de un prisma y de una esfera. Los Sulba Sutras contienen el valor aproximado de Π, que se obtiene al multiplicar el diámetro de un círculo por 25/8, que es equivalente a 3,125. En los Sulba Sutras se puede encontrar el teorema de Pitágoras, que se demuestra mediante un método de reducción al absurdo, y el problema de la duplicación del cubo, que se resuelve mediante la construcción de una raíz cúbica de dos, que se obtiene al dividir un segmento en siete partes iguales y tomar dos de ellas. El desarrollo de la geometría india se produjo entre los siglos III a.C. y VII d.C., cuando se escribieron los Siddhantas, que son tratados de astronomía y de matemáticas, que se basan en la geometría teórica, que se ocupa de la demostración y la generalización de las propiedades y las relaciones de las figuras geométricas. Los Siddhantas contienen problemas de geometría plana y espacial, como el cálculo del área de un polígono, de un sector circular, de un segmento circular y de una superficie curva, así como el cálculo del volumen de un cono, de una esfera, de un cilindro y de un toro. En estos textos está además el teorema del seno, que relaciona los lados y los ángulos de un triángulo cualquiera, y el teorema de la tangente, que relaciona los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Los Siddhantas introducen el concepto de la función seno, que se define como la razón entre el lado opuesto y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, y que se utiliza, entre otras, para calcular las posiciones y los movimientos de los cuerpos celestes. El auge de la geometría india se dio entre los siglos VII y XII d.C., cuando se escribieron los Ganita Sastras, que son tratados de matemáticas y de álgebra, que se basan en la geometría algebraica, que se ocupa de la resolución de problemas BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA22 geométricos mediante el uso de ecuaciones y de operaciones algebraicas. Los Ganita Sastras albergan problemas de geometría plana y espacial, como el cálculo del área de un triángulo, de un cuadrilátero, de un pentágono, de un hexágono y de un polígono regular, así como el cálculo del volumen de una pirámide, de un tetraedro, de un octaedro, de un icosaedro y de un poliedro regular. Estos textos albergan también una forma del teorema de Herón, que establece que el área de un triángulo es igual a la raíz cuadrada del producto de su semiperímetro por las diferencias entre el semiperímetro y cada uno de sus lados, y el teorema de Brahmagupta, que establece que el área de un cuadrilátero cíclico, es decir, que se puede inscribir en una circunferencia, es igual a la raíz cuadrada del producto de las diferencias entre el semiperímetro y cada uno de sus lados. Los Ganita Sastras, adicionalmente, introducen el concepto de la función coseno, que se define como la razón entre el lado adyacente y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, y que se utiliza para calcular las distancias y las alturas de los objetos. En definitiva: “Todos estos textos muestran que los indios tenían un conocimiento profundo y original de la geometría, así como una gran capacidad de cálculo, de aproximación y de demostración.” BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA23 Geometría árabe e islámica: La geometría árabe e islámica se desarrolló a partir del siglo IX d.C., cuando se tradujeron al árabe las obras de los matemáticos griegos, indios y chinos, y se preservaron y se comentaron en las bibliotecas y las escuelas de Bagdad, Damasco, Córdoba y otras ciudades. Los matemáticos árabes, persas e islámicos hicieron importantes aportaciones a la geometría, especialmente a la geometría algebraica, que se ocupa de la resolución de problemas geométricos mediante el uso de ecuaciones y de operaciones algebraicas. Al-Khwarizmi (Al-Juarismi): Al-Khwarizmi (hacia 780 d.C. - 850 d.C.), considerado el padre del álgebra, que escribió varios libros sobre los números arábigos y sobre los métodos de resolución de ecuaciones. Su libro Sobre el cálculo con números arábigos, escrito alrededor del año 825, junto con el trabajo de Al-Kindi, fueron instrumentos para dar a conocer las matemáticas árabes y los números arábigos en Occidente. La palabra algoritmo se deriva de la latinización de su nombre, algoritmi, y la palabra álgebra del título de uno de sus trabajos, Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l- muqābala (Compendio de cálculo por compleción y comparación). Al-Khwarizmi introdujo el concepto de la función seno, que se define como la razón entre el lado opuesto y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, y que se utiliza para calcular las posiciones y los movimientos de los cuerpos celestes. Ibn al-Haytham (Alhacén): Ibn al-Haytham (hacia 965 d.C. - 1040 d.C.), un físico, matemático y óptico, que se dedicó al estudio de la luz y de la visión. Ibn al-Haytham escribió una obra titulada Kitab al-Manazir (Libro de la óptica), que contiene siete libros, que tratan sobre la naturaleza de la luz, la reflexión, la refracción, la formación de las imágenes, la visión, los espejos y las lentes. “Alhacén allanó el camino a la ciencia moderna de la óptica física. lo que le llevó a ser entendido como el padre de la óptica moderna, pues hizo contribuciones fundamentales a los principios de la óptica en general y la percepción visual en particular.” BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA24 Ibn al-Haytham formuló la teoría de la visión intromisiva, que establece que la visión se produce cuando los rayos de luz entran en el ojo desde los objetos externos, y no al revés, como se creía anteriormente. Ibn al-Haytham utilizó la geometría para demostrar varios fenómenos ópticos, como la ley de la reflexión, la ley de la refracción, el principio de Fermat, el principio de Huygens y el principio de mínima acción. Al-Biruni: Al-Biruni (hacia 973 d.C. - 1048 d.C.), un polímata y un erudito, que se dedicó al estudio de la geometría, la astronomía, la geografía, la historia, la medicina y la filosofía. Al-Biruni escribió varias obras sobre la geometría plana y espacial, como el cálculo del área de un triángulo, de un cuadrilátero, de un pentágono, de un hexágono y de un polígono regular, así como el cálculo del volumen de una pirámide, de un tetraedro, de un octaedro, de un icosaedro y de un poliedro regular. Al-Biruni también calculó el valor de Π con gran precisión, utilizando métodos de aproximación basados en el uso de polígonos regulares, y obtuvo el valor de 3,1416. Al-Biruni calculó también la circunferencia de la Tierra, que se basó en la medición de la longitud de la sombra proyectada por un gnomon o reloj de sol en dos ciudades situadas en el mismo meridiano, a diferente latitud. Al-Biruni elaboró el primer mapa del mundo basado en la proyección ortográfica, que consiste en proyectar la superficie de una esfera sobre un plano perpendicular a un punto de vista. Omar Khayyam: Omar Khayyam (hacia 1048 d.C. - 1131 d.C.), un poeta, astrónomo y matemático, que se especializó en el estudio de las cónicas, es decir, las curvas que se obtienen al cortar un cono circular recto por un plano. Omar Khayyam escribió un tratado sobre las cónicas, que contiene más de 100 problemas sobre las propiedades y las características de las cónicas, y las aplica a problemas de óptica, de mecánica y de astronomía. Este autor resolvió el problema de la construcción de las cónicas con regla y compás, y el problema de la determinación de los lugares geométricos, es decir, el conjunto de puntos que cumplen una determinada condición. Omar Khayyam fue el primero en clasificar y resolver las ecuaciones cúbicas, mediante la intersección de una parábola y una hipérbola o de dos parábolas. BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA25 Nasir al-Din al-Tusi: Nasir al-Din al-Tusi (hacia 1201 d.C. - 1274 d.C.), un polímata y un sabio, que se dedicó al estudio de la geometría, la astronomía, la filosofía y la teología. Nasir al-Din al-Tusi escribió varias obras sobre la geometría euclidiana y la geometría no euclidiana, que se ocupa de los sistemas geométricos que no cumplen el quinto postulado de Euclides, que afirma que por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela a dicha recta. Este hombre demostró que se podían construir geometrías alternativas, en las que el quinto postulado no se cumple, y que son igualmente consistentes y válidas que la geometría euclidiana. Su invesitigación y desarrollo de la trigonometría le ponen como el primer astrónomo oriental en tener una visión clara de la trigonometría plana y esférica, tratando como disciplina única y diferenciada a la trigonometría. Nasir al-Din al-Tusi también introdujo el concepto de la función tangente, que se define como la razón entre el lado opuesto y el lado adyacente de un triángulo rectángulo, y que se utiliza para calcular las distancias y las alturas de los objetos. Su desarrollo de la geometría y trigonometría se aplica directamente en la Esgrima Láser. Ejemplo de esto es la lógica en la que se basa la obra de la ceñida, que puede ser entendida gracias al “acople Tusi”, por explicar la manera en la que se compensa con la sencillez la ganancia de recta del centro de masas proyectado. Esto puede demostrarse representándose al tirador y su sencillez como la circunferencia pequeña del acople Tusi, siendo la sencillez el centro de la circunferencia pequeña, mientras se entiende el centro de masas proyectado como el punto del diámetro de esta que, a su vez, se desplaza por el diámetro de la circunferencia mayor, sobre la que rota la pequeña. La aplicación de la trigonometría a la destreza laserina se puede entender desde el análisis plano y euclídeo o desde el análisis esférico, propio del extremo de la diástasis del medio proporcional agente y paciente. Al-Kashi: Al-Kashi (hacia 1380 d.C. - 1429 d.C.), un matemático, astrónomo y geómetra, que se especializó en el estudio de las cónicas, es decir, las curvas que se obtienen al cortar un cono circular recto por un plano. Al-Kashi escribió un tratado sobre las cónicas, que contiene más de 200 problemas sobre las propiedades y las características de las cónicas, y las aplica a problemas de óptica, de mecánica y de astronomía. BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA26 Al-Kashi resolvió el problema de la construcción de las cónicas con regla y compás, y el problema de la determinación de los lugares geométricos, es decir, el conjunto de puntos que cumplen una determinada condición. Al-Kashi también calculó el valor de Π con gran exactitud, utilizando métodos de aproximación basados en el uso de polígonos regulares, y obtuvo el valor de 3,1415926. Al-Kashi fué quien introdujo en su cultura el concepto de la función coseno, que se define como la razón entre el lado adyacente y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, y que se utiliza para calcular las distancias y las alturas de los objetos. Con esta exposición breve, queda demostrado que los árabes, los persas y los islámicos tenían un conocimiento profundo y riguroso de la geometría, así como una sobresaliente capacidad de cálculo, de aproximación y de demostración, teniendo en cuenta su época. Estos desarrollaron una geometría algebraica, que se convirtió en una de las más avanzadas y completas de la antigüedad. Adicionalmente, estos pueblos, como otros hicieron, aplicaron también la geometría a otros campos del saber, como la astronomía, la geografía, la óptica, la mecánica y el arte. BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA27 Geometría analítica: La geometría analítica es una rama de las matemáticas que estudia las figuras geométricas mediante técnicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Su desarrollo histórico comienza con la geometría cartesiana, continúa con la aparición de la geometría diferencial de Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica. Esta geometría tiene múltiples aplicaciones, más allá de las matemáticas y la ingeniería, pues forma parte ahora del trabajo de administradores para la planeación de estrategias y logística en la toma de decisiones. Geometría cartesiana: La geometría cartesiana es la primera forma de geometría analítica, que se basa en el uso de un sistema de coordenadas cartesianas, que consiste en dos ejes perpendiculares que se cortan en un punto llamado origen, y que permiten localizar cualquier punto del plano mediante un par de números llamados abscisa y ordenada. “Gracias a Descartes, todos podemos ser referencia sin realmente ser ejemplo de nada.” La geometría cartesiana fue creada por el filósofo y matemático francés René Descartes, que publicó su obra La geometría en 1637, como un apéndice de su Discurso del método. En dicha obra, Descartes introdujo el método de representar las curvas mediante ecuaciones algebraicas, y de resolver los problemas geométricos mediante el uso de variables y de operaciones algebraicas. Descartes también demostró el teorema fundamental de la geometría analítica, que establece que toda ecuación de grado n representa una curva de grado n, y que toda curva de grado n se puede representar mediante una ecuación de grado n. Descartes formuló la regla de los signos, que permite determinar el número de raíces positivas y negativas de una ecuación polinómica. Geometría diferencial: La geometría diferencial es una forma de geometría analítica, que se basa en el uso de las derivadas e integrales, que son conceptos del cálculo diferencial e integral, para estudiar las propiedades y las características de las curvas y las superficies. BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA28 La geometría diferencial fue desarrollada por el matemático y físico alemán Carl Friedrich Gauss, que publicó su obra Disquisitiones generales circa superficies curvas en 1827, como un apéndice de su Commentationes societatis regiae scientiarum Gottingensis recentiores. Gauss introdujo el concepto de la curvatura, que mide el grado de curvatura de una curva o de una superficie, y que se define como el inverso del radio de la circunferencia o de la esfera que mejor se ajusta a la curva o a la superficie en un punto dado. Gauss también demostró el teorema egregium, que establece que la curvatura de una superficie es una propiedad intrínseca, es decir, que no depende de la forma en que se embebe la superficie en el espacio, sino que solo depende de la forma en que se mide la distancia sobre la superficie. Gauss también formuló la fórmula de Gauss-Bonnet, que relaciona la curvatura total de una superficie con el ángulo total de sus bordes. Geometría algebraica: La geometría algebraica es una forma de geometría analítica, que se basa en el uso de las estructuras algebraicas, como los anillos, los cuerpos, los ideales, los polinomios, etc., para estudiar las propiedades y las características de las variedades algebraicas, que son los conjuntos de puntos que satisfacen una o varias ecuaciones polinómicas. La geometría algebraica fue desarrollada por varios matemáticos, entre los que se destacan el matemático y físico francés Joseph-Louis Lagrange, que publicó su obra Réflexions sur la résolution algébrique des équations en 1771, en la que introdujo el concepto de la función simétrica, que es una función que no cambia de valor al permutar las variables, y que se utiliza para eliminar las variables de una ecuación polinómica; el matemático y filósofo alemán Gottfried Wilhelm Leibniz, que publicó su obra Nova methodus pro maximis et minimis en 1684, en la que introdujo el concepto de la derivada, que mide la tasa de cambio de una función, y que se utiliza para hallar los puntos extremos de una curva; el matemático y físico italiano Girolamo Cardano, que publicó su obra Ars magna en 1545, en la que introdujo el concepto de la fórmula general, que permite resolver las ecuaciones polinómicas de grado 2, 3 y 4, y que se utiliza para hallar los puntos de corte de una curva; y el matemático y astrónomo francés François Viète, que publicó su obra In artem analyticem isagoge en 1591, en la que introdujo el concepto de la notación algebraica, que consiste en el uso de letras para representar las cantidades desconocidas y las operaciones entre ellas, y que se utiliza para expresar las ecuaciones de una curva. ———— GENERALIDADES DE LA GEOMETRÍA GENERALIDADES DE LA GEOMETRÍA31 Definición de la geometría: “La geometría es el estudio de las propiedades y condiciones de las figuras en el plano o el espacio, así como su función aplicada a los distintos ámbitos.” La geometría es una de las ramas más antiguas y fundamentales de las matemáticas, que se ocupa del estudio de las formas, las medidas, las posiciones y las relaciones de los objetos en el espacio. La palabra geometría proviene del griego “γεωμετρία”, que significa “medida de la tierra”, ya que los antiguos griegos, tanto como otros pueblos de la antigüedad, la utilizaron para resolver problemas prácticos relacionados con la agricultura, la arquitectura, la astronomía y la navegación. La definición de la geometría implica varios conceptos clave que se pueden explicar de la siguiente manera: Forma: La forma es la configuración o contorno que tiene un elemento, independientemente de su tamaño o posición. Por ejemplo, un triángulo, un cuadrado, un círculo, una esfera, etc., son formas geométricas que se pueden reconocer por sus características distintivas. Medida: La medida es la magnitud o la cantidad que se puede asignar a un elemento o a sus partes, según algún criterio o unidad de referencia. Por ejemplo, la longitud, el área, el volumen, el ángulo, etc., son medidas geométricas que se pueden calcular o comparar mediante fórmulas o instrumentos. Posición: La posición es la ubicación o lugar que ocupa un objeto en el espacio, respecto a algún sistema de coordenadas o de referencia. Por ejemplo, las coordenadas cartesianas, las coordenadas polares, las coordenadas GENERALIDADES DE LA GEOMETRÍA32 esféricas, etc., son sistemas que permiten determinar o expresar la posición de un punto, una recta, un plano, etc., en el espacio. Relación: La relación es la conexión o dependencia que existe entre un elemento o sus partes, según algún criterio o propiedad. Por ejemplo, la congruencia, la semejanza, la simetría, la paralelidad, la perpendicularidad, etc., son relaciones geométricas que se pueden establecer o demostrar mediante axiomas, postulados o teoremas. La geometría es una disciplina que tiene una gran importancia y utilidad en la historia, la cultura y el desarrollo de la humanidad, ya que permite describir, representar, analizar y resolver una gran variedad de fenómenos y problemas que se presentan en la naturaleza, la ciencia, el arte y la vida cotidiana. La geometría, en su aplicación, puede permitir el análisis empírico de conceptos, a priori abstractos, que al ser concretados, emergen de manera que pueden ser entendidos, organizados, utilizados y conjugados. “En el contexto esgrimístico, la forma, la medida, la posición y la relación serán los elementos básicos con los que se podrán analizar la existencia, pretérita, presente o futura, de aquello que tiene lugar, dentro o fuera del asalto.” GENERALIDADES DE LA GEOMETRÍA33 Punto: “Un punto es una posición o una ubicación en el espacio, que no tiene tamaño ni dimensión.” Recta: Una recta es un conjunto infinito de puntos alineados en una misma dirección, que tiene una sola dimensión: la longitud. Segmento: Un segmento es una parte de una recta que está limitada por dos puntos, llamados extremos o finales. Rayo: Un rayo es una parte de una línea que tiene un punto de partida fijo, careciendo sin punto final. Plano: Un plano es un elemento geométrico que representa una superficie plana e ilimitada, que tiene dos dimensiones: la longitud y el ancho. Paralelo: Que está dispuesto de forma lineal en la misma dirección que otra cosa, sin llegar a encontrarse nunca con ella por permanecer siempre a la misma distancia. Perpendicular: Que forma ángulo recto con otra línea o con otro plano. Lado: Cada uno de los segmentos que delimitan un ángulo. Vértice: Punto donde se cortan o confluyen los lados de un ángulo. Ángulo: Región del plano limitada por dos lados consecutivos. Cateto: Lado que, junto con otro, forma el ángulo recto de un triángulo rectángulo. Hipotenusa: Lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo. Diámetro: Línea recta que une dos puntos de una circunferencia, de una curva cerrada o de la superficie de una esfera pasando por su centro. Radio: Línea recta que une el centro de un círculo con cualquier punto del perímetro. Arco: Porción de la curva comprendida entre dos puntos de la circunferencia, resultante del ángulo que se forma en una circunferencia al unir dos puntos exteriores con su centro. Un arco puede ser mayor o menor, según sea mayor a una semicircunferencia o menor a esta, respectivamente. Cuerda: Segmento que va desde un punto a otro de la circunferencia, sin pasar por el centro. Diagonal: Segmento que une dos vértices no consecutivos. Se puede contar y medir su longitud y su inclinación. Altura: Recta perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación. Elementos geométricos elementales: GENERALIDADES DE LA GEOMETRÍA34 Mediatriz: Recta perpendicular a un lado que pasan por su punto medio. Bisectriz: Recta que divide un ángulo en dos ángulos congruentes. Mediana: Segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Eje de simetría: Recta que divide la figura en dos partes iguales y opuestas. Se pueden contar y trazar. Centro de simetría: Punto que coincide con el centro de una rotación que deja la figura invariante. Se puede hallar y ubicar. Circunferencia inscrita: Una circunferencia inscrita es aquella que, siendo interior a un polígono regular, es tangente a todos los lados de este. Circunferencia circunscritas: Una circunferencia circunscrita es aquella que, siendo exterior a un polígono, pasa por todos los vértices de este. Tangente: Línea o superficie que se toca con otra figura en un único punto, sin cortarse o atravesarse entre ellas. Secante: Recta que corta una curva por dos puntos. Recíproco del coseno, razón de la hipotenusa entre el lado adyacente al ángulo dado en un triángulo rectángulo. Perímetro: Longitud total del contorno de una figura geométrica. El perímetro se mide en unidades de una sola dimensión, como metros, centímetros o pulgadas. Área: Superficie acotada, que se distingue de lo que la rodea. El área se mide en unidades cuadradas, como metros cuadrados, centímetros cuadrados o pulgadas cuadradas. Ortocentro: Punto de intersección de las alturas de una figura geométrica. Baricentro: Punto de intersección de las medianas de una figura geométrica. El baricentro se suele representar con la letra G. El baricentro tiene la propiedad de que su distancia a cada vértice es el doble que su distancia al lado opuesto. Es decir, si dividimos cada mediana en dos partes, la parte que va del vértice al baricentro mide 2/3 de la mediana, y la parte que va del baricentro al lado opuesto mide 1/3 de la mediana. Incentro: Punto donde se cortan las bisectrices de los ángulos internos de una figura geométrica. El incentro se suele representar con la letra I. El incentro es el centro de una circunferencia inscrita en la figura, que es tangente a los lados. El incentro tiene la propiedad de que su distancia a cada lado es igual al radio de la circunferencia inscrita. Circuncentro: Punto donde se cortan las tres mediatrices de los lados de una figura geométrica. El circuncentro se suele representar con la letra O. El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, que es la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo. GENERALIDADES DE LA GEOMETRÍA35 Postulados generales de la geometría: Los postulados generales de la geometría son afirmaciones que se consideran verdaderas sin necesidad de demostración y que sirven como base para construir teoremas y definiciones. Existen diferentes tipos de postulados según el tipo de geometría que se estudie, sin embargo, no cabe duda de que los más conocidos y elementales son los postulados de Euclides, que fundaron la geometría euclidiana. Postulados generales de la geometría: Primer postulado general de la geometría: Se puede trazar una línea recta desde cualquier punto a cualquier otro punto. Segundo postulado general de la geometría: Un segmento de recta se puede extender indefinidamente en una línea recta. Tercer postulado general de la geometría: Se puede trazar una circunferencia dados un centro y un radio cualquiera. Cuarto postulado general de la geometría: Todos los ángulos rectos son iguales entre sí. Quinto postulado general de la geometría: Si una recta al cortar a otras dos rectas forma ángulos interiores del mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas, prolongadas indefinidamente, se cortan del lado en que están los ángulos menores que dos rectos. Estos postulados son los que se usan en la geometría clásica, que estudia las propiedades de las figuras y los cuerpos geométricos en el plano y en el espacio. Sin embargo, existen otras geometrías que modifican o añaden otros postulados, como la geometría no euclidiana, la geometría absoluta o la geometría proyectiva. GENERALIDADES DE LA GEOMETRÍA36 Primer postulado general de la geometría: “El primer postulado general de la geometría dicta que se puede trazar una línea recta desde cualquier punto a cualquier otro punto.” El primer postulado significa que dados dos puntos distintos, siempre existe una única línea recta que los une y que pasa por ellos. Esta línea recta se llama segmento de recta y tiene una longitud determinada por la distancia entre los dos puntos. El primer postulado de la geometría es una afirmación que se considera verdadera sin necesidad de demostración y que sirve como base para construir otros conceptos y propiedades geométricas. Por ejemplo, usando el primer postulado se puede definir el concepto de ángulo como la abertura formada por dos segmentos de recta que tienen un punto en común. También se puede demostrar que la suma de las longitudes de dos segmentos de recta es mayor que la longitud del segmento de recta que los une. El primer postulado de la geometría es uno de los más simples y fundamentales de la geometría euclidiana, que es la que estudia las propiedades de las figuras y los cuerpos geométricos en el plano y en el espacio. Segundo postulado general de la geometría: “El segundo postulado general de la geometría dicta que un segmento de recta se puede extender indefinidamente en una línea recta.” Esto significa que dado un segmento de recta, siempre se puede continuar trazando una línea recta que pase por los dos extremos del segmento y que no cambie de dirección. Esta línea recta se llama prolongación o extensión del segmento y tiene una longitud infinita. El segundo postulado de la geometría es una afirmación que se considera verdadera sin necesidad de demostración y que sirve como base para construir otros conceptos y propiedades geométricas. Por ejemplo, usando el segundo postulado se puede definir el concepto de paralelismo como la relación entre dos líneas rectas que no se cortan nunca, aunque se prolonguen indefinidamente. También se puede demostrar que dos ángulos opuestos por el vértice son iguales cuando dos líneas rectas se cortan. El segundo postulado de la geometría es uno de los más importantes y básicos de la geometría euclidiana, que es la que estudia las propiedades de las figuras y los cuerpos GENERALIDADES DE LA GEOMETRÍA37 geométricos en el plano y en el espacio. Sin embargo, existen otras geometrías que no usan el segundo postulado o que lo modifican, como la geometría elíptica o la geometría afín. Tercer postulado general de la geometría: “El tercer postulado general de la geometría dicta que se puede trazar una circunferencia dados un centro y un radio cualquiera.” Esto significa que dado un punto y una distancia, siempre existe una curva cerrada y plana que tiene todos sus puntos a la misma distancia del punto dado. Esta curva se llama circunferencia y el punto dado se llama centro. La distancia entre el centro y cualquier punto de la circunferencia se llama radio. El tercer postulado de la geometría es una afirmación que se considera verdadera sin necesidad de demostración y que sirve como base para construir otros conceptos y propiedades geométricas. Por ejemplo, usando el tercer postulado se puede definir el concepto de ángulo central como el ángulo formado por dos radios de una circunferencia que tienen el mismo vértice en el centro. También se puede demostrar que la longitud de una circunferencia es igual a dos veces el producto del radio por el número pi. El tercer postulado de la geometría es uno de los más simples y fundamentales de la geometría euclidiana, que es la que estudia las propiedades de las figuras y los cuerpos geométricos en el plano y en el espacio. Sin embargo, existen otras geometrías que no usan el tercer postulado o que lo modifican, como la geometría hiperbólica o la geometría esférica. Cuarto postulado general de la geometría: “El cuarto postulado general de la geometría dice que todos los ángulos rectos son iguales entre sí.” Esto significa que dado un ángulo que tiene dos lados perpendiculares, es decir, que forman un ángulo de 90 grados, siempre se puede comparar con otro ángulo que tenga las mismas características y se encontrará que tienen la misma medida. El cuarto postulado de la geometría es una afirmación que se considera verdadera sin necesidad de demostración y que sirve como base para construir otros conceptos y propiedades geométricas. Por ejemplo, usando el cuarto postulado se puede definir el GENERALIDADES DE LA GEOMETRÍA38 concepto de ángulo complementario como el ángulo que se forma al restar un ángulo recto de otro ángulo cualquiera. También se puede demostrar que la suma de los ángulos interiores de un triángulo rectángulo es igual a 180 grados. El cuarto postulado de la geometría es uno de los más simples y fundamentales de la geometría euclidiana, que es la que estudia las propiedades de las figuras y los cuerpos geométricos en el plano y en el espacio. Sin embargo, existen otras geometrías que no usan el cuarto postulado o que lo modifican, como la geometría hiperbólica o la geometría esférica. Quinto postulado general de la geometría: “El quinto postulado general de la geometría dice que, si una recta al cortar a otras dos rectas forma ángulos interiores del mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas, prolongadas indefinidamente, se cortan del lado en que están los ángulos menores que dos rectos.” Esto significa que dado un haz de tres rectas que se cortan en un punto, si los ángulos que se forman entre una de las rectas y las otras dos son menores que 180 grados, entonces las otras dos rectas se cortarán en algún punto si se prolongan lo suficiente. Este punto de corte se llama punto de fuga y la recta que lo une con el punto de corte inicial se llama recta de fuga. El quinto postulado de la geometría es una afirmación que se considera verdadera sin necesidad de demostración y que sirve como base para construir otros conceptos y propiedades geométricas. Por ejemplo, usando el quinto postulado se puede definir el concepto de paralelismo como la relación entre dos líneas rectas que no se cortan nunca, aunque se prolonguen indefinidamente. También se puede demostrar que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180 grados. El quinto postulado de la geometría es uno de los más complejos y controvertidos de la geometría euclidiana, que es la que estudia las propiedades de las figuras y los cuerpos geométricos en el plano y en el espacio. Durante siglos, muchos matemáticos intentaron demostrar el quinto postulado a partir de los otros cuatro, sin éxito. Finalmente, se descubrió que existen otras geometrías que no usan el quinto postulado o que lo modifican, como la geometría hiperbólica o la geometría elíptica. Estas geometrías se llaman geometrías no euclidianas y tienen propiedades muy diferentes a las de la geometría euclidiana. GENERALIDADES DE LA GEOMETRÍA39 Clasificación de la geometría: La clasificación de la geometría depende de diferentes criterios, pues la geometría es una rama notablemente amplia y diversa de las matemáticas, que abarca muchos aspectos, conceptos y aplicaciones. Por ende, no existe una única forma de clasificar la geometría, sino que se pueden usar distintos criterios según el enfoque, el propósito o el interés que se tenga. Por ejemplo, se puede clasificar la geometría según el número de dimensiones para estudiar las propiedades de las figuras planas o espaciales, según el tipo de postulados para analizar las consecuencias lógicas de diferentes axiomas, según el objeto de estudio para explorar las características de las curvas, las superficies o las variedades, o según el método de representación para resolver problemas geométricos usando proyecciones, álgebra o algoritmos. Cada una de estas clasificaciones tiene su propia historia, desarrollo y aplicaciones, y refleja la riqueza y la complejidad de la geometría. Clasificación de la geometría según el número de dimensiones: Geometría plana: Aquella geometría que se proyecta en dos dimensiones. Geometría espacial: Aquella geometría que se proyecta en tres o más dimensiones. Clasificación de la geometría según el tipo de postulados: Geometría euclidiana: Aquella geometría basada en los cinco postulados de Euclides. Geometría no euclidiana: Aquella geometría que modifica el quinto postulado de Euclides. Geometría absoluta: Aquella geometría que solo usa los primeros cuatro postulados. Geometría proyectiva: Aquella geometría que agrega un postulado sobre puntos en el infinito. GENERALIDADES DE LA GEOMETRÍA40 Clasificación de la geometría según el objeto de estudio: Geometría clásica: Aquella geometría que estudia las propiedades de las figuras y los cuerpos geométricos. Geometría de curvas y superficies: Aquella geometría que estudia las propiedades de las curvas y las superficies en el espacio. Geometría diferencial: Aquella geometría que estudia las propiedades de las variedades diferenciables. Clasificación de la geometría según el método de representación: Geometría descriptiva: Aquella geometría que usa sistemas de proyección para representar gráficamente los problemas del espacio. Geometría analítica: Aquella geometría que usa el álgebra y el cálculo para resolver problemas geométricos. Geometría fractal: Aquella geometría que usa algoritmos recursivos para generar figuras con autosimilitud. ———— GEOMETRÍA EUCLIDIANA GEOMETRÍA EUCLIDIANA43 Propiedades de existencia: “Las propiedades de existencia son axiomas que afirman que existe un único elemento geométrico que cumple ciertas condiciones.” Las propiedades de existencia son importantes porque permiten construir y definir otros elementos geométricos a partir de los puntos, las rectas y los planos. También permiten establecer relaciones entre los elementos geométricos y resolver problemas geométricos. Estas propiedades de existencia se consideran verdaderas sin necesidad de demostración y se llaman axiomas o postulados de la geometría. Primera propiedad de existencia: Dos puntos determinan una única recta que pasa por ellos. Segunda propiedad de existencia: Una recta y un punto fuera de ella determinan un único plano que los contiene. Tercera propiedad de existencia: Tres puntos no alineados determinan un único plano que pasa por ellos. Cuarta propiedad de existencia: Dos rectas distintas que se cortan determinan un único plano que las contiene. Quinta propiedad de existencia: Dos planos distintos que se cortan determinan una única recta que pasa por ellos. Sexta propiedad de existencia: Un punto y una recta no paralela a un plano determinan un único plano que los contiene. Séptima propiedad de existencia: Un punto y un plano no paralelo a una recta determinan una única recta que los contiene. Octava propiedad de existencia: Dos rectas paralelas y una transversal determinan un único par de rectas paralelas en cualquier plano que las contenga. Novena propiedad de existencia: Dos planos paralelos y una recta transversal determinan un único par de rectas paralelas en cualquier plano que los contenga. GEOMETRÍA EUCLIDIANA44 Propiedades de congruencia: “Las propiedades de congruencia son axiomas que afirman que dos o más elementos geométricos tienen la misma medida o la misma forma.” Estas propiedades de congruencia son importantes porque permiten comparar y clasificar los elementos geométricos según sus características y resolver problemas geométricos. Estas propiedades de congruencia se pueden demostrar a partir de las propiedades de existencia y de otros teoremas de la geometría. Primera propiedad de congruencia: Si dos rectas son paralelas y una tercera recta las corta, entonces los ángulos alternos internos son iguales y los ángulos correspondientes son iguales. Segunda propiedad de congruencia: Si dos rectas son perpendiculares, entonces forman cuatro ángulos rectos iguales entre sí. Tercera propiedad de congruencia: Si dos planos son paralelos y una recta los corta, entonces la recta es paralela a las intersecciones de los planos con cualquier otro plano que pase por ella. Cuarta propiedad de congruencia: Si dos planos son perpendiculares, entonces cualquier recta que pertenezca a uno de ellos es perpendicular al otro. Quinta propiedad de congruencia: Si dos ángulos son iguales y los lados que los forman son proporcionales, entonces los triángulos que los contienen son semejantes. Sexta propiedad de congruencia: Si dos triángulos tienen dos lados y el ángulo comprendido iguales, entonces son congruentes. Séptima propiedad de congruencia: Si dos triángulos tienen un lado y los dos ángulos adyacentes iguales, entonces son congruentes. Octava propiedad de congruencia: Si dos triángulos tienen tres lados iguales, entonces son congruentes. GEOMETRÍA EUCLIDIANA45 Punto: “Un punto es una posición o una ubicación en el espacio, que no tiene tamaño ni dimensión.” Un punto es un elemento geométrico que representa una posición o una ubicación en el espacio, sin tener ninguna extensión o dimensión. Es decir, un punto no tiene longitud, anchura, altura, área, volumen ni otro atributo dimensional. Un punto es la unidad más simple e irreductible de la comunicación visual, y se puede usar para marcar el extremo de un segmento, el vértice de un ángulo, el centro de una circunferencia o cualquier otro lugar de interés. Esto se representa gráficamente por un pequeño círculo, una pequeña cruz o cualquier otra figura que indique su posición, y se nombra con una letra mayúscula. Por ejemplo, el punto A. Un punto no tiene partes ni límites, y se puede considerar como un conjunto formado por un solo elemento. “Existen infinitos puntos en el espacio y por un punto pasan potencialmente infinitas rectas.” Desde el punto de vista matemático, un punto se puede definir mediante un sistema de coordenadas que establece una relación entre los puntos y los números. Por ejemplo, en el plano cartesiano, un punto se define por medio de una pareja ordenada de números reales (x, y) que indica la distancia horizontal y vertical del punto respecto al origen. En el espacio tridimensional, un punto se define por medio de una terna ordenada de números reales (x, y, z) que indica la distancia del punto respecto a los tres ejes coordenados. Estos sistemas de coordenadas permiten representar y operar con los puntos de forma algebraica y analítica. En el contexto del análisis geométrico del asalto, serán muchos los puntos que existirán, concreta y mayoritariamente, representando localizaciones concretas de las anatomías de los tiradores. Ejemplo de ello será el centro de masas proyectado, que será un punto. Dicho punto quedará siempre proyectado en el plano inferior, sujeto a su bidimensionalidad, representando al centro de masas, que a su vez, será otro punto que estará en un entorno tridimensional. El eje de la sencillez también será ejemplo de un punto localizado en el espacio tridimensional. “En el asalto existirán diversos puntos, unos proyectados en planos bidimensionales y otros en espacios tridimensionales.” GEOMETRÍA EUCLIDIANA46 Recta: “Una recta es un conjunto infinito de puntos alineados en una misma dirección, que tiene una sola dimensión: la longitud.” Una recta es un elemento geométrico que representa una sucesión infinita e ininterrumpida de puntos que se extienden en una misma dirección, sin presentar curvas ni ángulos. Es decir, una recta no tiene anchura ni grosor, solo longitud. Una recta es la unidad más simple e irreductible de la comunicación visual, y se puede usar para medir distancias, trazar ángulos o definir paralelismo y perpendicularidad. Una recta se representa gráficamente por una línea con dos flechas en los extremos y se nombra con una letra minúscula o con dos puntos que pertenecen a ella. Por ejemplo, la recta r o la recta AB. Una recta no tiene principio ni fin, y se puede considerar como un conjunto formado por infinitos elementos. “Existen infinitas rectas en el espacio y por una recta pasan infinitos planos.” Desde el punto de vista matemático, una recta se puede definir mediante una ecuación algebraica de primer grado que relaciona las coordenadas de los puntos que la componen. Por ejemplo, en el plano cartesiano, una recta se define por medio de una ecuación de la forma y = mx + b, donde y es la coordenada en el eje vertical, x es la coordenada en el eje horizontal, m es la pendiente o inclinación de la recta y b es la ordenada al origen o el punto en el que la recta corta al eje vertical. En el espacio tridimensional, una recta se define por medio de un sistema de dos ecuaciones paramétricas de la forma x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct, donde (x0, y0, z0) es un punto que pertenece a la recta, (a, b, c) es un vector director de la recta y t es un parámetro real. Estos sistemas de ecuaciones permiten representar y operar con las rectas de forma algebraica y analítica. En el análisis del asalto, existirán diversas rectas y todas ellas unirán dos puntos. Un ejemplo de recta es la línea de los hombros, que será una recta que pasa por ambos hombros de un sujeto. GEOMETRÍA EUCLIDIANA47 Segmento: “Un segmento es una parte de una recta que está limitada por dos puntos, llamados extremos o finales.” Toda recta podrá ser limitada por dos puntos, que se llamarán extremos, dando lugar a un segmento. Un segmento se puede representar con una letra mayúscula, como AB, o con una línea sobre las letras de los extremos, como AB. Hay diferentes tipos de segmentos, según su posición o su relación con otros segmentos: Segmentos consecutivos: son aquellos que comparten un extremo, como AB y BC. Segmentos colineales, alineados o adyacentes: son aquellos que están en la misma recta, como AB y BC. Segmentos no colineales: son aquellos que no están en la misma recta, como AB y CD. Segmento nulo: es aquel que tiene el mismo punto como inicio y final, como AA. También se pueden hacer operaciones con segmentos, como suma y resta. La suma de dos segmentos es otro segmento que tiene como inicio el origen del primer segmento y como final el final del segundo segmento. Por ejemplo, la suma de AB y BC es AC. La resta de dos segmentos es otro segmento que tiene como inicio el origen del segmento de menor longitud y como final el mismo final que el segmento de mayor longitud. Por ejemplo, la resta de AC y AB es BC. Sin embargo, los segmentos tendrán una mayor utilidad para el análisis, dado que no solo marcarán una dirección, sino que aportarán información sobre la extensión gracias a sus extremos. Ejemplo de esto podrá ser el segmento de planta, que es la recta que va del cimiento de planta hábil al no hábil, perteneciendo enteramente a un único sujeto. Otro ejemplo de segmento de recta será el diámetro común de los tiradores, siendo la recta que une el centro de masas proyectado de agente y paciente. Igualmente se puede hacer mención al diámetro común de la sencillez, que unirá dos puntos, siendo estos la sencillez agente y del paciente. “En el asalto, las rectas y los segmentos serán fundamentales para el análisis de los medios.” GEOMETRÍA EUCLIDIANA48 Rayo: “Un rayo es una parte de una línea que tiene un punto de partida fijo, careciendo de punto final.” Se puede pensar en un rayo como un segmento de línea que tiene un punto de inicio, y que sin embargo, no tiene fin. El punto de inicio se llama origen del rayo y la dirección en la que se extiende se llama dirección del rayo. Un rayo se puede representar con una letra minúscula, como r, o con dos letras mayúsculas que indican el origen y otro punto por el que pasa el rayo, como AB, con una flecha sobre las letras, como AB. La longitud de un rayo no se puede medir, porque es infinita. Hay diferentes tipos de rayos, según su posición o su relación con otros rayos: Rayos opuestos: son aquellos que comparten el mismo origen, que tienen direcciones contrarias, como AB y AC. Rayos perpendiculares: son aquellos que forman un ángulo recto entre sí, como AB y AD. Rayos paralelos: son aquellos que tienen la misma dirección, que no comparten ningún punto, como AB y CD. También se pueden hacer operaciones con rayos, como suma y resta. La suma de dos rayos es otro rayo que tiene como origen el punto medio entre los orígenes de los rayos sumados y como dirección la resultante de las direcciones de los rayos sumados. Por ejemplo, la suma de AB y CD es EF, donde E es el punto medio entre A y C, y F es el punto que se obtiene al sumar las coordenadas de B y D. La resta de dos rayos es otro rayo que tiene como origen el punto medio entre los orígenes de los rayos restados y como dirección la resultante de restar las direcciones de los rayos restados. Por ejemplo, la resta de AB y CD es GH, donde G es el punto medio entre A y C, y H es el punto que se obtiene al restar las coordenadas de B y D. GEOMETRÍA EUCLIDIANA49 Plano: “Un plano es un elemento geométrico que representa una superficie plana e ilimitada, que tiene dos dimensiones: la longitud y el ancho.” El plano se representa por un paralelogramo con cuatro flechas en los vértices y se nombra con una letra del alfabeto griego o con tres puntos que no estén alineados en él. Por ejemplo, el plano α o el plano ABC. Un plano bidimensional no tiene grosor ni borde, lo que quiere decir que nada puede estar posicionado más que en dos ejes, por ejemplo altura y anchura. De la misma manera, el plano no podrá tener bordes de ningún tipo, pues eso le adjudicaría una tercera dimensión en la que el borde existiría. “Un plano no tiene grosor ni borde, solo área.” Un plano es la unidad bidimensional más simple e irreductible de la comunicación visual, y se puede usar para representar figuras geométricas, calcular áreas o establecer posiciones relativas. “Existen infinitos planos en el espacio y dos planos se cortan en una recta.” Un plano se representa gráficamente por un paralelogramo con cuatro flechas en los vértices y se nombra con una letra del alfabeto griego o con tres puntos que no estén alineados en él. Por ejemplo, el plano α o el plano ABC. “Un plano no tiene principio ni fin, y se puede considerar como un conjunto formado por infinitos elementos.” Desde el punto de vista matemático, un plano se puede definir mediante una ecuación algebraica de primer grado que relaciona las coordenadas de los puntos que lo componen. Por ejemplo, en el espacio tridimensional, un plano se define por medio de una ecuación de la forma ax + by + cz + d = 0, donde a, b, c y d son constantes reales y x, y, z son las coordenadas de cualquier punto del plano. Esta ecuación se llama ecuación general o implícita del plano y permite representar y operar con los planos de forma algebraica y analítica. GEOMETRÍA EUCLIDIANA50 En el asalto, según el estudio de este desde la destreza laserina, existen diversos planos que emergen de la extensión de puntos, añadiendo a estos otras dos referencias adimensionales o una referencia unidimensional. Un ejemplo de ello será el plano del ítalo, que es un plano que parte de la sencillez del agente, quedando siempre paralelo al plano inferior. GEOMETRÍA EUCLIDIANA51 Ángulos: “Un ángulo es una figura geométrica que se forma cuando dos líneas o semirrectas se cortan o se unen en un punto.” El ángulo se compone de tres elementos principales, el primero de ellos es el punto donde se encuentran las líneas, que se llama vértice del ángulo, y las líneas que se cruzan que se llaman lados del ángulo. Adicionalmente, existe un elemento adicional: la bisectriz, que será una recta que dividirá al ángulo en dos ángulos iguales, quedando dicha línea con el mismo ángulo respecto a cada uno de los lados del ángulo original. La medida de un ángulo indica el grado de abertura entre sus lados y se expresa en unidades como grados, radianes o vueltas. Tipos de ángulos: Los ángulos se pueden clasificar según diferentes criterios, como su medida, su posición o su relación con otros ángulos. Algunos tipos de ángulos son: Ángulos según su medida: Ángulo nulo: es el que mide 0º y no tiene abertura. Se forma cuando los lados del ángulo son la misma línea. Ángulo agudo: es el que mide entre 0º y 90º. Se forma cuando los lados del ángulo se abren poco. Ángulo recto: es el que mide 90º. Se forma cuando los lados del ángulo son perpendiculares entre sí. Ángulo obtuso: es el que mide entre 90º y 180º. Se forma cuando los lados del ángulo se abren más de lo que lo hace un ángulo recto. Ángulo llano: es el que mide 180º. Se forma cuando los lados del ángulo son opuestos entre sí. Ángulo cóncavo: es el que mide entre 180º y 360º. Se forma cuando los lados del ángulo se abren más de lo que lo hace un ángulo llano. Ángulo completo: es el que mide 360º. Se forma cuando los lados del ángulo coinciden después de dar una vuelta completa. GEOMETRÍA EUCLIDIANA52 Ángulos según su posición: Ángulos consecutivos: son los que comparten el vértice y uno de los lados. Ángulos adyacentes: son los que son consecutivos y además suman 180º. Se forma cuando los lados que no comparten son opuestos entre sí. Ángulos opuestos por el vértice: son los que comparten el vértice, que no los lados. Se forma cuando dos rectas se cortan. Son iguales entre sí. Ángulos según su relación con otros ángulos: Ángulos complementarios: son los que suman 90º. Se forma cuando un ángulo es el complemento del otro, es decir, lo que le falta para ser un ángulo recto. Ángulos suplementarios: son los que suman 180º. Se forma cuando un ángulo es el suplemento del otro, es decir, lo que le falta para ser un ángulo llano. Ángulos conjugados: son los que suman 360º. Se forma cuando un ángulo es el conjugado del otro, es decir, lo que le falta para ser un ángulo completo. Los ángulos poseen una importancia crucial, pues nos permiten describir y analizar las formas y las propiedades de las figuras geométricas, así como resolver problemas de geometría, trigonometría, física, astronomía y otras disciplinas. Los ángulos también se usan en el lenguaje coloquial para expresar ideas como la perspectiva, el punto de vista, la dirección, la inclinación, la actitud o el enfoque de algo o alguien. “En la esgrima, sea cual sea la naturaleza de esta, los ángulos y su comprensión son fundamentales, pues con ello se entienden las interacciones de los elementos en el medio.” GEOMETRÍA EUCLIDIANA53 Triángulos: “Un triángulo es una figura geométrica formada por tres segmentos que se cortan en tres puntos no alineados llamados vértices.” Explicado de una manera geométricamente precisa, un triángulo es un polígono convexo de tres lados, que se obtiene al intersecar tres semirrectas que parten de tres puntos no colineales. Los triángulos se pueden clasificar según la proporcionalidad de sus lados o la amplitud de sus ángulos internos: Según la proporcionalidad de sus lados, los triángulos pueden ser: Triángulo equilátero: si los tres lados son congruentes entre sí. Triángulo isósceles: si dos lados son congruentes y el otro no. Triángulo escaleno: si los tres lados son incongruentes entre sí. Según la amplitud de sus ángulos internos, los triángulos pueden ser: Triángulo rectángulo: si el ángulo vértice es recto (90º). En este caso, la base es la hipotenusa y los lados congruentes son los catetos. El circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa y el incentro es el punto de tangencia de la circunferencia inscrita con la hipotenusa. Triángulo obtusángulos: si el ángulo vértice es obtuso (mayor de 90º). En este caso, el circuncentro y el ortocentro son exteriores al triángulo y el incentro y el baricentro son interiores. Triángulo acutángulos: si el ángulo vértice es agudo (menor de 90º). En este caso, el circuncentro, el ortocentro, el incentro y el baricentro son interiores al triángulo. GEOMETRÍA EUCLIDIANA54 En el contexto del asalto, existirán distintas referencias posibles, y de todas ellas podrán emerger triángulos, tan solo uniendo tres puntos. Todo triángulo que se genere de esta manera será considerado como triángulo natural. Este triángulo natural habrá de ser subdividido en triángulos rectángulos para poder generar un análisis formal de aquello en lo que intervenga, pues sobre los rectángulos podrán hacerse cálculos más precisos y funcionales. Triángulo natural: Triángulo que se forma por la unión de tres puntos, tenidos en cuenta de entre las referencias posibles de un asalto, que no cumple ninguna forma concreta más que la existencia de tres lados. Estos triángulos naturales habrán de ser subdivididos en triángulos rectángulos para realizar un análisis formal de lo acontecido. Un ejemplo de triángulo natura será el triángulo generado en una triangulación sobre el plano inferior, por el compás de un tirador, que tendrá como referencias el centro de masas proyectado original, el centro de masas proyectado final y el centro de masas proyectado del paciente. Este triángulo natural podrá tener distintas formas, siendo siempre necesario que exista una desviación de recta que dará lugar a un corte de recta, lo que subdivida al triángulo natural en dos triángulos rectángulos, sobre los que hacer cálculos con precisión. Triángulo equilátero: “Un triángulo equilátero es un triángulo que tiene sus lados iguales.” Los triángulos equiláteros también son equiangulares, es decir, los tres ángulos internos son iguales y miden 60°. Algunas características y propiedades técnicas de los triángulos equiláteros son: El triángulo equilátero tiene 3 ejes de simetría, cada uno pasa por un vértice y el punto medio del lado opuesto. Cada altura, mediana, bisectriz, mediatriz y eje de simetría de un triángulo equilátero coinciden sobre una misma recta. Por tanto el ortocentro, el baricentro, el incentro y el circuncentro coinciden en un mismo punto central. El triángulo equilátero tiene un grupo de movimientos de orden 6, formado por tres rotaciones y tres reflexiones. GEOMETRÍA EUCLIDIANA55 Propiedades de los triángulos equiláteros: Dos triángulos equiláteros cualesquiera son siempre semejantes y congruentes. Los ángulos exteriores de un triángulo equilátero son de 120°. El perímetro de un triángulo equilátero es 3a, donde a es la longitud del lado. La altura de un triángulo equilátero es a√3/2, donde a es la longitud del lado. La apotema de un triángulo equilátero es a√3/6, donde a es la longitud del lado. El radio de la circunferencia circunscrita es a√3/3, donde a es la longitud del lado. El radio de la circunferencia inscrita es a√3/6, donde a es la longitud del lado. El radio de la circunferencia exinscrita es a√3/2, donde a es la longitud del lado. El área de un triángulo equilátero es a^2√3/4, donde a es la longitud del lado. El semiperímetro de un triángulo equilátero es 2R + (3√3 - 4)r, donde R es el radio de la circunferencia circunscrita y r es el radio de la circunferencia inscrita. Un ejemplo de triángulo equilátero, dentro de la geometría del asalto, tenderá a ser la configuración de la rectitud cuando esta quede relajada, teniendo en cuenta a un tirador de anatomía regular. La rectitud quedará con la misma extensión en el segmento de esta, el segmento cúbito-radial y el segmento humeral. GEOMETRÍA EUCLIDIANA56 Triángulo isósceles: “Un triángulo isósceles es un triángulo que tiene dos lados de igual longitud.” Un triángulo isósceles es un polígono convexo de tres lados, que se obtiene al intersecar tres semirrectas que parten de tres puntos no colineales, de tal forma que dos de los lados son congruentes entre sí. El lado incongruente se llama base y los ángulos opuestos a los lados congruentes se llaman ángulos de la base. El ángulo formado por los lados congruentes se llama ángulo vértice. El punto medio de la base se llama centro de la base. La altura, la mediana, la bisectriz y la mediatriz referidas a la base coinciden en una misma recta, que se llama eje de simetría del triángulo. El punto de intersección de esta recta con la base se llama ortocentro, baricentro, incentro y circuncentro del triángulo, respectivamente. Propiedades de los triángulos isósceles: Los ángulos de la base son congruentes entre sí. La suma de los ángulos internos es 180º. La suma de los ángulos externos es 360º. El perímetro es P = 2a + b, donde a es la longitud de los lados congruentes y b es la longitud de la base. El área es A = bh/2, donde b es la longitud de la base y h es la altura. La altura es h = a√(1 - b2/4a2), donde a es la longitud de los lados congruentes y b es la longitud de la base. El radio de la circunferencia circunscrita es R = a^2/2h, donde a es la longitud de los lados congruentes y h es la altura. El radio de la circunferencia inscrita es r = h/2, donde h es la altura. Un ejemplo posible de un triángulo isósceles, en la geometría del asalto; concretamente en la geometría raíz, es el triángulo generado por los diámetros raíz de un tirador orientado a su opositor, y su segmento de planta, cuando esta quede infinita. GEOMETRÍA EUCLIDIANA57 Triángulo escaleno: “Un triángulo escaleno es un triángulo en el cual los tres lados tienen longitudes diferentes.” Un triángulo escaleno es un polígono convexo de tres lados, que se obtiene al intersecar tres semirrectas que parten de tres puntos no colineales, de tal forma que los tres lados son incongruentes entre sí. Esto significa que ninguno de sus lados o ángulos tiene la misma medida. Los triángulos escalenos son considerados polígonos irregulares. Propiedades de los triángulos escalenos: La suma de los ángulos internos es 180º. La suma de los ángulos externos es 360º. La suma de las medidas de dos lados siempre debe ser mayor que la medida del tercer lado, es decir, a + b > c, b + c > a, c + a > b, donde a, b y c son las longitudes de los lados. El perímetro es P = a + b + c, donde a, b y c son las longitudes de los lados. El área se puede calcular usando la fórmula de Herón: A = √(s(s - a)(s - b)(s - c)), donde s es el semiperímetro, es decir, s = (a + b + c) / 2. El radio de la circunferencia circunscrita se puede hallar usando la fórmula: R = abc / 4A, donde a, b y c son las longitudes de los lados y A es el área. El radio de la circunferencia inscrita se puede hallar usando la fórmula: r = A / s, donde A es el área y s es el semiperímetro. GEOMETRÍA EUCLIDIANA58 Obtención del área de un triángulo: Para hallar el área de un triángulo, existen diferentes métodos, dependiendo de la información que se tenga sobre dicha figura. Si se conoce la base y la altura del triángulo, se puede usar la fórmula: Área = (base x altura) / 2. Esta fórmula se aplica a cualquier tipo de triángulo. Si se conocen los tres lados del triángulo, se puede usar la fórmula de Herón: Área = √(s(s - a)(s - b) (s - c)), donde s es el semiperímetro, es decir, s = (a + b + c) / 2, y a, b y c son las longitudes de los lados. Si se conocen dos lados y el ángulo entre ellos del triángulo, se puede usar la fórmula: Área = (a x b x sen C) / 2, donde a y b son las longitudes de los lados y C es el ángulo entre ellos. Si se conocen dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos del triángulo, se puede usar la fórmula: Área = (a^2 x sen B x sen C) / (2 x sen (B + C)), donde a es la longitud del lado opuesto al ángulo A, B y C son los ángulos dados y A es el ángulo opuesto al lado a. Entre otros muchos ejemplos de un triángulo escaleno hallado en la geometría del asalto, será el triángulo raíz, que será ese triángulo natural que existe entre los cimientos de planta de un tirador y el centro de masas de su opositor, con lados en los diámetros raíz y el segmento de planta. Esto será así pues la planta de un tirador tenderá a no quedar infinita, sino que quedará transversal o en línea, lo que dará lugar a que exista un triángulo con todos sus lados diferentes. Triángulo raíz: “Triángulo hipotético formado por los diámetros raíz y el segmento de la planta.” GEOMETRÍA EUCLIDIANA59 Cuadriláteros: “Un cuadrilátero es una figura geométrica formada por cuatro lados y cuatro ángulos.” Explicado de una manera geométricamente precisa, los cuadriláteros geométricos son figuras planas formadas por cuatro segmentos que se cortan en cuatro puntos no alineados llamados vértices. Paralelogramo: “Un paralelogramo es un cuadrilátero que tienen dos pares de lados paralelos.” Los paralelogramos son figuras geométricas que tienen cuatro lados y dos pares de lados paralelos. Los paralelogramos se clasifican en diferentes tipos según la forma y la posición de sus lados y ángulos: Cuadrado: es un paralelogramo que tiene los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos rectos. El cuadrado es un caso especial de rectángulo y de rombo. El cuadrado tiene cuatro ejes de simetría y un centro de simetría. El área de un cuadrado se calcula multiplicando el lado por sí mismo. El perímetro de un cuadrado se calcula multiplicando el lado por cuatro. Rectángulo: es un paralelogramo que tiene los cuatro ángulos rectos. El rectángulo es un caso especial de paralelogramo. El rectángulo tiene dos ejes de simetría y un centro de simetría. El área de un rectángulo se calcula multiplicando la base por la altura. El perímetro de un rectángulo se calcula sumando el doble de la base más el doble de la altura. Rombo: es un paralelogramo que tiene los cuatro lados iguales sin formar ángulos rectos. El rombo es un caso especial de paralelogramo. El rombo tiene dos ejes de simetría y un centro de simetría. El área de un rombo se calcula multiplicando el producto de las diagonales por la mitad. El perímetro de un rombo se calcula multiplicando el lado por cuatro. GEOMETRÍA EUCLIDIANA60 Romboide: es un paralelogramo que no tiene ningún lado ni ángulo igual. El romboide es también conocido como paralelogramo no regular. El romboide tiene un eje de simetría y un centro de simetría. El área de un romboide se calcula multiplicando la base por la altura. El perímetro de un romboide se calcula sumando el doble de la base más el doble del lado. Propiedades de los paralelogramos: Los lados opuestos son congruentes (iguales). Los ángulos opuestos son congruentes. Los ángulos consecutivos son suplementarios (suman 180°). Las diagonales se bisecan entre sí. Si un ángulo es recto, entonces todos los ángulos son rectos. Además, los lados opuestos son congruentes. El área se calcula multiplicando la base por la altura. Trapecio: “Un trapecio es un cuadrilátero que tienen un par de lados paralelos llamados bases.” Los trapecios son figuras geométricas que tienen cuatro lados, de los cuales dos son paralelos y se llaman bases, y los otros dos son no paralelos y se llaman lados laterales. Los trapecios se clasifican en: Trapecio isósceles: si los lados no paralelos son congruentes. En este caso, los ángulos de la misma base son congruentes y las diagonales son congruentes. Trapecio rectángulo: si tiene dos ángulos rectos. En este caso, las diagonales son congruentes. Trapecio escaleno: si no tiene ningún lado ni ángulo congruente. Trapecio trisolátero: si tiene tres lados congruentes. En este caso, el lado no congruente es paralelo a la base menor y los ángulos de la base mayor son congruentes. GEOMETRÍA EUCLIDIANA61 Propiedades de los trapecios: La suma de los ángulos internos es 360º. La suma de los ángulos externos es 360º. La mediana es el segmento que une los puntos medios de los lados laterales. La mediana es paralela a las bases y su longitud es igual a la media aritmética de las longitudes de las bases. Las alturas son los segmentos perpendiculares a las bases que pasan por los vértices opuestos. Las alturas se cortan en un punto llamado ortocentro. Las bisectrices son las rectas que dividen los ángulos internos en dos partes iguales. Las bisectrices se cortan en un punto llamado incentro. Las mediatrices son las rectas perpendiculares a los lados que pasan por sus puntos medios. Las mediatrices se cortan en un punto llamado circuncentro. Área de los trapecios: El área de los trapecios se calcula usando la fórmula: Área = (B + b)h / 2, donde B y b son las longitudes de las bases y h es la altura. Trapezoide: “Un trapezoide es un cuadrilátero que no tienen ningún lado paralelo.” Los trapezoides son figuras geométricas que tienen cuatro lados, de los cuales dos son paralelos y se llaman bases, y los otros dos son no paralelos y se llaman lados laterales. Los trapezóides se clasifican en: Trapezoide isósceles: si los lados laterales son iguales. En este caso, los ángulos de la misma base son iguales y las diagonales son iguales. Trapezoide rectángulo: si tiene dos ángulos rectos. En este caso, las diagonales son iguales. Trapezoide escaleno: si no tiene ningún lado ni ángulo igual. GEOMETRÍA EUCLIDIANA62 Trapezoide trisolátero: si tiene tres lados iguales. En este caso, el lado no igual es paralelo a la base menor y los ángulos de la base mayor son iguales. Propiedades de los trapezóides: La suma de los ángulos internos es 360º. La suma de los ángulos externos es 360º. La mediana es el segmento que une los puntos medios de los lados laterales. La mediana es paralela a las bases y su longitud es igual a la media aritmética de las longitudes de las bases. Las alturas son los segmentos perpendiculares a las bases que pasan por los vértices opuestos. Las alturas se cortan en un punto llamado ortocentro. Las bisectrices son las rectas que dividen los ángulos internos en dos partes iguales. Las bisectrices se cortan en un punto llamado incentro. Las mediatrices son las rectas perpendiculares a los lados que pasan por sus puntos medios. Las mediatrices se cortan en un punto llamado circuncentro. Área de los trapezoides: El área de un trapezoide se puede calcular usando la fórmula: Área = (B + b)h / 2, donde B y b son las longitudes de las bases y h es la altura1. El perímetro de un trapezoide se puede calcular sumando las longitudes de los cuatro lados. Es interesante conocer que el área total virtual de planta de un tirador generará, habitualmente, un trapezoide. El área de este trapezoide marcará donde podrá quedar proyectado el centro de masas del tirador, sabiendo que cuando salga de dicho área, el tirador amorrará o tenderá a perder el equilibrio. GEOMETRÍA EUCLIDIANA63 Polígonos regulares e irregulares: “Un polígono es una figura geométrica de dos dimensiones formadas por segmentos de recta que se unen en sus extremos.” Polígono regular: “Un polígono regular es un polígono que tiene todos sus lados y ángulos iguales.” Esto implica que el polígono es equilátero (todos sus lados tienen la misma longitud) y equiángulo (todos sus ángulos tienen la misma medida). Los polígonos regulares son también polígonos convexos, es decir, que no tienen ángulos mayores de 180º y que cualquier segmento que una dos puntos del polígono queda totalmente dentro del polígono. Los polígonos regulares tienen varias propiedades que los caracterizan: Son simétricos respecto a su centro, es decir, que si se gira el polígono alrededor de su centro, se obtiene la misma figura. El centro del polígono regular es el punto donde se cortan las bisectrices de sus ángulos, las mediatrices de sus lados y las medianas de sus vértices. Tienen un número finito de ejes de simetría, que son las rectas que dividen al polígono en dos partes iguales y opuestas. El número de ejes de simetría coincide con el número de lados del polígono. Tienen una circunferencia circunscrita, que es la circunferencia que pasa por todos los vértices del polígono. El centro de la circunferencia circunscrita coincide con el centro del polígono y el radio de la circunferencia es igual a la distancia entre el centro y cualquier vértice. Tienen una circunferencia inscrita, que es la circunferencia que es tangente a todos los lados del polígono. El centro de la circunferencia inscrita coincide con el centro del polígono y el radio de la circunferencia es igual a la distancia entre el centro y cualquier lado. GEOMETRÍA EUCLIDIANA64 Área de un polígono regular: El área de un polígono regular se puede calcular usando la fórmula: Área = (n x a x r) / 2, donde n es el número de lados, a es la longitud de un lado y r es el radio de la circunferencia inscrita. Perímetro de un polígono: El perímetro de un polígono regular se puede calcular usando la fórmula: Perímetro = n x a, donde n es el número de lados y a es la longitud de un lado. Los polígonos regulares se pueden nombrar según el número de lados que tienen, usando el prefijo griego correspondiente y el sufijo -gono. Por ejemplo, un polígono regular de tres lados se llama triángulo, uno de cuatro lados se llama cuadrado, uno de cinco lados se llama pentágono, etc. Algunos polígonos regulares tienen nombres especiales, como el hexágono (seis lados), el octógono (ocho lados) o el dodecágono (doce lados). Polígono irregular: “Un polígono irregular es un polígono que no tiene todos sus lados y ángulos iguales.” Esto implica que el polígono puede ser no equilátero (algunos de sus lados tienen distinta longitud), no equiángulo (algunos de sus ángulos tienen distinta medida) o ambas cosas a la vez. Los polígonos irregulares pueden ser también polígonos cóncavos, es decir, que tienen algún ángulo mayor de 180º y que algún segmento que une dos puntos del polígono queda parcialmente fuera del polígono. Los polígonos irregulares no tienen tantas propiedades como los polígonos regulares, y siendo así, se pueden mencionar algunas, como: No son simétricos respecto a su centro, es decir, que si se gira el polígono alrededor de su centro, no se obtiene la misma figura. El centro del polígono irregular se puede definir como el punto que minimiza la suma GEOMETRÍA EUCLIDIANA65 de los cuadrados de las distancias a los vértices, mas no coincide con el punto donde se cortan las bisectrices, las mediatrices o las medianas. Pueden tener o no ejes de simetría, dependiendo de la forma del polígono. El número de ejes de simetría puede ser menor que el número de lados del polígono. Por ejemplo, un trapecio isósceles tiene un eje de simetría, mientras que un trapecio escaleno no tiene ninguno. Pueden tener o no una circunferencia circunscrita, dependiendo de la forma del polígono. Si la tienen, el centro de la circunferencia no coincide con el centro del polígono y el radio de la circunferencia es igual a la distancia entre el centro y el vértice más alejado. Pueden tener o no una circunferencia inscrita, dependiendo de la forma del polígono. Si la tienen, el centro de la circunferencia no coincide con el centro del polígono y el radio de la circunferencia es igual a la distancia entre el centro y el lado más cercano. Área de un polígono regular: El área de un polígono irregular se puede calcular usando diferentes métodos, dependiendo de la información que se tenga sobre el polígono. Algunos de los métodos más comunes son: descomponer el polígono en figuras más simples, usar la fórmula de Herón, usar la fórmula de Bretschneider o usar la fórmula de Pick. Perímetro de un polígono: El perímetro de un polígono irregular se puede calcular sumando las longitudes de todos los lados. Los polígonos irregulares se pueden nombrar según el número de lados que tienen, usando el prefijo griego correspondiente y el sufijo -gono, seguido de la palabra irregular. GEOMETRÍA EUCLIDIANA66 Por ejemplo, un polígono irregular de tres lados se llama triángulo irregular, uno de cuatro lados se llama cuadrilátero irregular, uno de cinco lados se llama pentágono irregular, etc. Algunos polígonos irregulares tienen nombres especiales, como el trapecio (cuatro lados, dos paralelos), el trapezoide (cuatro lados, ninguno paralelo) o el deltoides (cuatro lados, dos pares de lados iguales). GEOMETRÍA EUCLIDIANA67 Circunferencia: La circunferencia es una de las figuras geométricas más simples y fundamentales de la geometría plana. Se puede definir de varias formas equivalentes: “La circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que están a una distancia fija de un punto llamado centro.” Esta definición implica que la circunferencia es una curva cerrada, plana y simétrica, que tiene una forma circular. La distancia fija entre el centro y cualquier punto de la circunferencia se llama radio, y es una de las medidas más importantes de esta figura. Otra medida relevante es el diámetro, que es el segmento que une dos puntos opuestos de la circunferencia pasando por el centro. “El diámetro es el doble del radio, es decir, d = 2r.” La circunferencia tiene varios elementos que se pueden identificar y estudiar, como se muestra en la siguiente imagen: Elementos específicos de la circunferencia: Centro (c): Es el punto fijo del que equidistan todos los puntos de la circunferencia. Es el punto de simetría de la figura y el origen de las coordenadas polares. Radio (r): Es el segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia. Es la medida de la distancia entre el centro y la curva. Todos los radios de una circunferencia son iguales. Diámetro (d): Es el segmento que une dos puntos opuestos de la circunferencia pasando por el centro. Es la mayor distancia entre dos puntos de la circunferencia. Todos los diámetros de una circunferencia son iguales y son el doble del radio. Cuerda (AB): Es el segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia, sin pasar por el centro. El diámetro es una cuerda especial que pasa por el centro. GEOMETRÍA EUCLIDIANA68 La cuerda más cercana al centro es la mediana de la circunferencia. Arco (ACB): Porción de la curva comprendida entre dos puntos de la circunferencia, resultante del ángulo que se forma en una circunferencia al unir dos puntos exteriores con su centro. El arco se puede medir por su longitud o por el ángulo que abarca en el centro. El arco más largo de una circunferencia es el que mide 180° y se llama semicircunferencia. Arco mayor: Porción de la curva comprendida entre dos puntos de la circunferencia, mayor que una semicircunferencia, resultante del ángulo que se forma en una circunferencia al unir dos puntos exteriores con su centro. Arco menor: Porción de la curva comprendida entre dos puntos de la circunferencia, menor que una semicircunferencia, resultante del ángulo que se forma en una circunferencia al unir dos puntos exteriores con su centro. Sector circular (ACOB): Es la porción del plano de una circunferencia limitada por dos radios y el arco que determinan. El sector circular se puede medir por su área o por el ángulo que abarca en el centro. El sector circular más grande de una circunferencia es el que mide 360° y se llama círculo. Segmento circular (ACBC): Es la porción del plano de una circunferencia limitada por una cuerda y el arco que determina. El segmento circular se puede medir por su área o por la altura de la cuerda. El segmento circular más grande de una circunferencia es el que tiene por cuerda el diámetro y se llama semicírculo. Ángulo central (AOC): Es el ángulo formado por dos radios que parten del centro. El ángulo central mide lo mismo que el arco que subtiende. El ángulo central más grande de una circunferencia es el que mide 360° y se llama ángulo perigonal. GEOMETRÍA EUCLIDIANA69 Ángulo inscrito (ABC): Es el ángulo formado por dos cuerdas que parten de un mismo punto de la circunferencia. El ángulo inscrito mide la mitad que el arco que subtiende. El ángulo inscrito más grande de una circunferencia es el que mide 180° y se llama ángulo llano. Ángulo semiinscrito (ACB): Es el ángulo formado por una cuerda y una tangente que parten de un mismo punto de la circunferencia. El ángulo semiinscrito mide la mitad que el arco comprendido entre los puntos de contacto. El ángulo semiinscrito más grande de una circunferencia es el que mide 90° y se llama ángulo recto. Tangente (t): Es la recta que toca a la circunferencia en un solo punto llamado punto de tangencia. La tangente es perpendicular al radio que pasa por el punto de tangencia. La tangente es exterior a la circunferencia y no corta a la curva en ningún otro punto. Secante (s): Es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos llamados puntos de corte. La secante es exterior a la circunferencia en los segmentos que no están entre los puntos de corte. La secante es interior a la circunferencia en el segmento que está entre los puntos de corte. Perímetro de una circunferencia: La longitud del perímetro de una circunferencia es lo que mide todo el contorno de esta. El perímetro de una circunferencia es proporcional al radio y al número pi, que es una constante irracional que se aproxima a 3,1416. La fórmula para calcular la longitud de una circunferencia es: L = 2πr. GEOMETRÍA EUCLIDIANA70 Área de una circunferencia: El área de un círculo, que es la región del plano delimitada por una circunferencia, es proporcional al cuadrado del radio y al número pi. La fórmula para calcular el área de un círculo es: A = πr^2. Propiedades de la circunferencia: La circunferencia es una figura geométrica que tiene numerosas propiedades y aplicaciones en la matemática y en otras disciplinas. La circunferencia es la curva plana de menor perímetro para una superficie dada. Esto significa que de todas las figuras planas que tienen la misma área, la circunferencia es la que tiene el menor contorno. Esta propiedad se conoce como el problema de isoperímetros y fue demostrada por Jakob Steiner en 1838. La circunferencia es la única curva plana que tiene curvatura constante. Esto significa que en cualquier punto de la circunferencia, la curvatura es la misma y es igual al inverso del radio. La curvatura es una medida de cuánto se aleja una curva de ser recta. Una recta tiene curvatura cero, mientras que una circunferencia tiene la máxima curvatura posible. La circunferencia es la única curva plana que es ortogonal a sí misma. Esto significa que en cualquier punto de la circunferencia, la recta tangente es perpendicular a la recta normal, que es la que pasa por el centro. Esta propiedad se conoce como la propiedad de Pitot y fue demostrada por Henri Pitot en 1725. Relevancia técnica histórica de la circunferencia: La circunferencia es una figura geométrica que tiene una gran relevancia en la historia y en la cultura humana. Desde la antigüedad, la circunferencia ha sido asociada con conceptos como la perfección, la armonía, la eternidad, el infinito, el movimiento, el tiempo, el espacio, el cosmos, el sol, la luna, etc. La circunferencia ha sido usada como símbolo y como instrumento en diversas disciplinas como la astronomía, la astrología, la religión, la filosofía, la música, el arte, la arquitectura, la ingeniería, la navegación, la medicina, etc. La circunferencia ha sido también objeto de estudio y de admiración por parte de grandes matemáticos, físicos, geómetras, artistas, poetas, filósofos, etc. Algunos ejemplos de la presencia y la importancia de la circunferencia en la historia y en la cultura son: GEOMETRÍA EUCLIDIANA71 La rueda: La rueda, que es un disco circular que gira alrededor de un eje y que permite el movimiento de vehículos y máquinas. La rueda es una de las invenciones más relevantes y revolucionarias de la historia de la humanidad, ya que facilitó el transporte, la agricultura, la industria, la guerra, el comercio, etc. La rueda se originó en el Neolítico, alrededor del 4000 a.C, y se perfeccionó a lo largo de los siglos con diversos materiales y diseños, siguiendo su desarrollo al momento de escribir estas líneas. El compás: El compás, como objeto físico con uso técnico, que resulta ser un instrumento tangible para trazar circunferencias y medir distancias. El compás consta de dos brazos articulados, uno con una punta y otro con un lápiz o una pluma. El compás se usa para dibujar circunferencias con un radio dado, para dividir un segmento en partes iguales, para transportar ángulos, para construir figuras geométricas, etc. El compás es uno de los instrumentos más antiguos y universales de la geometría. Al analizar este instrumento, se puede entender un paralelismo notable entre él y el concepto de compás como medio de desplazar al tirador por el plano inferior. La constante pi: La constante pi, es la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. El valor de pi es aproximadamente 3,1416, sin embargo, es un número irracional que tiene infinitos decimales no periódicos. El cálculo de pi ha sido un reto para los matemáticos desde la antigüedad hasta la actualidad, y se han usado diversos métodos para obtener aproximaciones cada vez más precisas. A la fecha de estas líneas, el récord de decimales hallados es de 50 billones de decimales, obtenido por Timothy Mullican en 2020. GEOMETRÍA EUCLIDIANA72 El teorema de Tales: El teorema de Tales, que establece que si una recta corta a dos circunferencias secantes, los segmentos determinados en una son proporcionales a los determinados en la otra. Este teorema fue usado por Tales de Mileto para medir la altura de las pirámides de Egipto en el siglo VI a.C. La cuadratura del círculo: La cuadratura del círculo, que es el problema de construir un cuadrado que tenga la misma área que un círculo dado, usando solo una regla y un compás. Este problema fue planteado por los antiguos griegos y fue demostrado que es imposible de resolver por Ferdinand von Lindemann en 1882. La fórmula de Euler: La fórmula de Euler, que relaciona el número de vértices, aristas y caras de un poliedro convexo con el número pi. Esta fórmula se puede expresar como V - A + C = 2, donde V es el número de vértices, A es el número de aristas, C es el número de caras y 2 es el doble del número pi. Esta fórmula fue descubierta por Leonhard Euler en el siglo XVIII y es una de las más elegantes y sorprendentes de la matemática. La circunferencia de Mohr: La circunferencia de Mohr, que es una herramienta gráfica para el análisis de esfuerzos y deformaciones en los materiales. La circunferencia de Mohr representa el estado de esfuerzo en un punto mediante un círculo cuyo centro y radio dependen de los esfuerzos normales y cortantes actuantes. La circunferencia de Mohr fue desarrollada por Christian Otto Mohr en el siglo XIX y es ampliamente usada en la ingeniería civil y mecánica. GEOMETRÍA EUCLIDIANA73 Geometría métrica, distancia y norma: “La geometría métrica es la rama de la matemática que se ocupa de medir y comparar las propiedades geométricas de las figuras en el espacio.” La geometría métrica se basa en el concepto de distancia, que es una medida de la separación entre dos puntos, y en el concepto de norma, que es una medida del tamaño o la longitud de un vector. Ambos conceptos están relacionados por el teorema de Pitágoras, que establece que la distancia entre dos puntos es igual a la norma del vector que los une. Por ende, la distancia y la norma son dos conceptos fundamentales de la geometría métrica, que es la rama de la matemática que se ocupa de medir y comparar las propiedades geométricas de las figuras en el espacio. Distancia: “La distancia es una medida de la separación entre dos puntos.” Norma: “La norma es una medida del tamaño o la longitud de un vector.” La distancia y la norma se relacionan por medio del teorema de Pitágoras, que establece que la distancia entre dos puntos es igual a la norma del vector que los une. “El teorema de Pitágoras relaciona la distancia y la norma.” Existen diferentes formas de definir la distancia y la norma, dependiendo del tipo de espacio geométrico que se considere. El espacio más común es el espacio euclídeo, que es el espacio de la geometría clásica, donde se satisfacen los axiomas de Euclides. En el espacio euclídeo, la distancia y la norma se definen mediante el producto escalar, que es una operación que asocia a cada par de vectores un número real. Si los vectores son u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3), el producto escalar entre ellos es: u · v = u1v1 + u2v2 + u3v3 GEOMETRÍA EUCLIDIANA74 La norma de un vector u se define como la raíz cuadrada de su producto escalar consigo mismo: ||u|| = √(u · u) = √(u1^2 + u2^2 + u3^2) La distancia entre dos puntos A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) se define como la norma del vector AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1): d(A, B) = ||AB|| = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2) Estas definiciones se pueden generalizar a espacios de cualquier dimensión, y se conocen como la norma y la distancia euclidianas. Con estas definiciones, el espacio euclídeo se convierte en un espacio métrico, es decir, un espacio donde se puede medir la distancia entre sus puntos. Además, el espacio euclídeo tiene otras propiedades, como la ortogonalidad, el ángulo, la proyección y la simetría, que se pueden expresar en términos del producto escalar. Sin embargo, el espacio euclídeo no es el único espacio geométrico que existe. Hay otros espacios que tienen otras formas de definir la distancia y la norma, que pueden ser más adecuadas para modelar ciertos fenómenos físicos o matemáticos. Por ejemplo, el espacio de Minkowski es el espacio de la teoría de la relatividad especial de Einstein, donde la distancia entre dos puntos no es constante, sino que depende del estado de movimiento del observador. En el espacio de Minkowski, la distancia y la norma se definen mediante el producto de Minkowski, que es una variación del producto escalar. Si los vectores son u = (u0, u1, u2, u3) y v = (v0, v1, v2, v3), el producto de Minkowski entre ellos es: u · v = u0v0 - u1v1 - u2v2 - u3v3 La norma de un vector u se define como la raíz cuadrada de su producto de Minkowski consigo mismo: ||u|| = √(u · u) = √(u0^2 - u1^2 - u2^2 - u3^2) La distancia entre dos puntos A(x0, x1, x2, x3) y B(y0, y1, y2, y3) se define como la norma del vector AB = (y0 - x0, y1 - x1, y2 - x2, y3 - x3): d(A, B) = ||AB|| = √((y0 - x0)^2 - (y1 - x1)^2 - (y2 - x2)^2 - (y3 - x3)^2) GEOMETRÍA EUCLIDIANA75 Estas definiciones se conocen como la norma y la distancia de Minkowski. Con estas definiciones, el espacio de Minkowski se convierte en un espacio pseudométrico, es decir, un espacio donde se puede medir la distancia entre sus puntos, que puede ser cero para puntos distintos. Además, el espacio de Minkowski tiene otras propiedades, como la dilatación del tiempo, la contracción de la longitud y la invariancia de la velocidad de la luz, que se pueden expresar en términos del producto de Minkowski. Estos son solo dos ejemplos de espacios geométricos con diferentes definiciones de distancia y norma. Hay muchos otros espacios que tienen otras formas de definir estos conceptos, como el espacio de Hilbert, el espacio de Banach, el espacio de Hamming, el espacio de Manhattan, el espacio de Mahalanobis, el espacio de Finsler, el espacio de Riemann y el espacio de Lorentz, entre otros. Cada uno de estos espacios tiene sus propias características y aplicaciones, pudiéndose estudiar con las herramientas del análisis matemático y del álgebra lineal. Perímetro y área: El perímetro y el área son dos conceptos fundamentales de la geometría métrica, que es la rama de la matemática que se ocupa de medir y comparar las propiedades geométricas de las figuras en el espacio. El perímetro y el área se pueden aplicar a cualquier figura cerrada, sin importar si es regular o irregular, plana o tridimensional. Perímetro: “El perímetro de una figura es la longitud total de su contorno, es decir, la suma de las longitudes de sus lados o aristas.” El perímetro se mide en unidades de una sola dimensión, como metros, centímetros o pulgadas. El perímetro se puede calcular mediante diversas fórmulas, que dependen de la forma y el número de lados de la figura. Por ejemplo, el perímetro de un cuadrado es cuatro veces la longitud de su lado, el perímetro de un círculo es dos veces el producto del número pi por el radio, y el perímetro de un triángulo es la suma de las longitudes de sus tres lados. Área: “El área de una figura es la medida de la superficie que ocupa.” GEOMETRÍA EUCLIDIANA76 El área se mide en unidades cuadradas, como metros cuadrados, centímetros cuadrados o pulgadas cuadradas. El área se puede calcular mediante diversas fórmulas, que dependen de la forma y las dimensiones de la figura. Por ejemplo, el área de un cuadrado es el cuadrado de la longitud de su lado, el área de un círculo es el producto del número pi por el cuadrado del radio, y el área de un triángulo es la mitad del producto de la base por la altura. El perímetro y el área son útiles para describir y comparar las figuras geométricas, así como para resolver problemas prácticos relacionados con el espacio, como el diseño, la construcción, la pintura, el embalaje, el cálculo de impuestos, el consumo de recursos, etc. El perímetro y el área también se pueden generalizar a otras dimensiones y a otras geometrías, como la geometría no euclidiana y la geometría diferencial. Es importante entender que el área se puede describir también como: “El área es la superficie total acotada que queda distinguida de aquello que lo rodea.” Esto dará lugar a que el área de un duelo se llame así con propiedad, pues es directa la relación entre el concepto geométrico y la delimitación del espacio en que los tiradores tendrán que permanecer durante los asaltos. GEOMETRÍA EUCLIDIANA77 Teorema de Pitágoras: El teorema de Pitágoras dicta una relación entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Esto resulta una de las proposiciones más importantes y conocidas de la geometría euclidiana. Teorema de Pitágoras: “El cuadrado de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los otros dos lados que no son la hipotenusa).” Es decir, si en un triángulo rectángulo hay catetos de longitud a y b, y la medida de la hipotenusa es c, entonces se cumple la siguiente ecuación: c^2 = a^2 + b^2 Esta ecuación permite calcular la longitud de cualquiera de los lados del triángulo rectángulo si se conocen los otros dos. También permite conocer el área de cualquier tipo de triángulo a través de su división en triángulos rectángulos. El teorema de Pitágoras se puede explicar mediante el concepto de área. Si se construyen cuatro triángulos rectángulos iguales con los lados a, b y c, y se los dispone alrededor de un cuadrado de lado c, se forma un cuadrado mayor de lado a + b. El área del cuadrado mayor es igual a la suma de las áreas de los cuatro triángulos y el cuadrado menor. Por otro lado, el área del cuadrado mayor también es igual al cuadrado de su lado. Igualando estas dos expresiones, se obtiene el teorema de Pitágoras: (a + b)^2 = 4(ab/2) + c^2 a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2 a^2 + b^2 = c^2 El teorema de Pitágoras se puede demostrar de muchas formas diferentes, algunas de ellas muy antiguas y otras más modernas. Una de las demostraciones más sencillas y elegantes es la que se atribuye al matemático indio Bhaskara II, que vivió en el siglo XII. Esta demostración se basa en un diagrama, en que se observa un cuadrado de lado a + b, dividido en cuatro partes: un cuadrado de lado c y cuatro triángulos rectángulos de lados a, b y c. GEOMETRÍA EUCLIDIANA78 La demostración consiste en comparar el área del cuadrado grande con el área de las cuatro partes. Por un lado, el área del cuadrado grande es igual al cuadrado de su lado: A1 = (a + b)^2 Por otro lado, el área de las cuatro partes es igual a la suma de las áreas del cuadrado pequeño y los cuatro triángulos: A2 = c^2 + 4(ab/2) Igualando estas dos expresiones, se obtiene el teorema de Pitágoras: (a + b)^2 = c^2 + 4(ab/2) a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab a^2 + b^2 = c^2 Esta es una de las muchas formas de demostrar el teorema de Pitágoras, que se ha utilizado en numerosas ocasiones por muchos métodos diferentes, posiblemente el mayor número de teoremas matemáticos. Las pruebas son diversas, e incluyen tanto pruebas geométricas como algebraicas, y algunas se remontan a miles de años atrás. En la Esgrima Láser, el teorema de Pitágoras es fundamental para entender la naturaleza de los medios emergentes de la triangulación sobre el plano inferior y de la triangulación ejecutiva de las armas. Es por ello que todos los triángulos, emergentes de las posiciones de los tiradores y de sus armas, son rectángulos, para así poder aplicar el teorema en cuestión a la hora de hacer un análisis preciso de lo acontecido. GEOMETRÍA EUCLIDIANA79 Teorema de Herón: “El teorema de Herón es una fórmula que permite calcular el área de un triángulo cualquiera, conociendo solo las longitudes de sus tres lados.” El teorema lleva el nombre del matemático griego Herón de Alejandría, que lo enunció y demostró en su libro Métrica, escrito en el siglo I d.C. El teorema de Herón es una generalización de la fórmula del área de un triángulo rectángulo, que se basa en la mitad del producto de la base por la altura. Siendo así, el teorema de Herón no requiere conocer la altura del triángulo, ni elegir un lado como base, ni tan siquiera saber si el triángulo es rectángulo o no. De esta manera, este teorema complementa al teorema de Pitágoras, dándole al conocedor de ellos unas herramientas de análisis fundamentales para la reducción geométrica de la realidad. “El teorema de Herón complementa al teorema de Pitágoras.” El teorema de Herón se puede expresar de la siguiente manera: si un triángulo tiene lados de longitud a, b y c, entonces su área es: A = √(s(s - a)(s - b)(s - c)) Donde s es el semiperímetro del triángulo, es decir, la mitad de la suma de sus lados: s = (a + b + c) / 2 Esta fórmula se puede deducir a partir de la fórmula del área de un triángulo rectángulo, usando el teorema de Pitágoras y algunas identidades algebraicas. Demostración: Sea h la altura del triángulo respecto al lado c, y sea d la distancia desde el vértice opuesto al lado c hasta el pie de la altura. Entonces, el área del triángulo es: A = (c * h) / 2 GEOMETRÍA EUCLIDIANA80 Por el teorema de Pitágoras, se tiene que: h^2 = a^2 - d^2 h^2 = b^2 - (c - d)^2 Igualando estas dos expresiones y simplificando, se obtiene que: d = (a^2 + c^2 - b^2) / (2c) Sustituyendo este valor de d en la primera expresión de h^2, se tiene que: h^2 = (a2c2 + c^4 - b2c2 - 2a2c2 + 2b2c2 - a^4) / (4c^2) Simplificando y factorizando, se obtiene que: h^2 = (c^2 - (a - b)2)(c2 - (a + b)^2) / (4c^2) Sustituyendo este valor de h^2 en la expresión del área, se tiene que: A = (c * √((c^2 - (a - b)2)(c2 - (a + b)^2))) / (4c) Simplificando y reordenando, se obtiene que: A = √((a + b + c)(-a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)) / 4 Observando que cada factor del radicando es el doble del semiperímetro menos uno de los lados, se tiene que: A = √(s(s - a)(s - b)(s - c)) Siendo esta la fórmula de Herón. GEOMETRÍA EUCLIDIANA81 Teorema de Tales: “Si dos rectas cualesquiera son cortadas por rectas paralelas, los segmentos que determina en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes de la otra.” El teorema de Tales es un teorema de la geometría que se considera el teorema fundamental de la semejanza de triángulos, y establece dos afirmaciones relacionadas con la proporcionalidad y la semejanza de figuras planas: Primera afirmación del teorema de Tales: “Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado, es decir, que tiene los mismos ángulos y los lados proporcionales.” Segunda afirmación del teorema de Tales: “Si los extremos de un diámetro de un círculo y cualquier otro punto de la circunferencia forman un triángulo, entonces este triángulo es rectángulo, es decir, que tiene un ángulo de 90° opuesto al diámetro.” Estas afirmaciones se atribuyen al matemático griego Tales de Mileto, que vivió en el siglo VI a. C. y que fue uno de los primeros en aplicar la geometría a la medición de objetos reales. Aplicaciones: El teorema de Tales tiene muchas aplicaciones prácticas en la geometría y en la resolución de problemas. Ejemplo de ello es que se puede usar para calcular distancias inaccesibles, como la altura de una pirámide o la anchura de un río, usando proporciones y semejanzas. El teorema de Tales se puede usar para construir ángulos rectos usando una cuerda y un compás, o para demostrar otras propiedades geométricas, como el teorema de Pitágoras o el teorema de la mediana. Además, el teorema de Tales es la base de la geometría proyectiva, que estudia las propiedades de las figuras que se conservan bajo proyecciones, como las sombras o las perspectivas. GEOMETRÍA EUCLIDIANA82 Para demostrar el teorema de Tales, se pueden usar diferentes métodos, como la deducción: Demostración de la primera afirmación del teorema de Tales: Sea ABC un triángulo y DE una línea paralela al lado BC, que corta a los lados AB y AC en los puntos D y E, respectivamente. Queremos demostrar que el triángulo ADE es semejante al triángulo ABC, es decir, que tienen los mismos ángulos y los lados proporcionales. Para ello, usamos el siguiente razonamiento: Como DE es paralela a BC, los ángulos alternos internos ADE y ABC son iguales, y los ángulos correspondientes AED y ACB son iguales. Por tanto, los triángulos ADE y ABC tienen dos ángulos iguales, y por el teorema del ángulo exterior, también tienen el tercer ángulo igual. Esto implica que los triángulos ADE y ABC son semejantes por el criterio AA (ángulo-ángulo). Como los triángulos ADE y ABC son semejantes, sus lados son proporcionales, es decir, que se cumple que: \frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE} Por lo tanto, hemos demostrado la primera afirmación del teorema de Tales. Demostración de la segunda afirmación del teorema de Tales: Sea O el centro de un círculo, AC un diámetro del círculo y B un punto cualquiera de la circunferencia. Queremos demostrar que el triángulo ABC es rectángulo, es decir, que tiene un ángulo de 90° opuesto al diámetro. Para ello, usamos el siguiente razonamiento: Como AC es un diámetro del círculo, el segmento OC es la mitad del diámetro, y por tanto, es un radio del círculo. Lo mismo ocurre con los segmentos OA y OB, que también son radios del círculo. Por tanto, los triángulos OAB y OBC son isósceles, ya que tienen dos lados iguales. Como los triángulos OAB y OBC son isósceles, sus ángulos opuestos a los lados iguales son iguales. Por tanto, se cumple que: \ángulo OAB=\ángulo OBA \ángulo OBC=\ángulo OCB GEOMETRÍA EUCLIDIANA83 Sumando estas igualdades, obtenemos que: \ángulo OAB+\ángulo OBC=\ángulo OBA+\ángulo OCB Pero estos ángulos son los ángulos interiores de un cuadrilátero, que suman 360°. Por tanto, se cumple que: \ángulo OAB+\ángulo OBC+\ángulo OBA+\ángulo OCB=360° Sustituyendo la igualdad anterior, obtenemos que: 2(\ángulo OAB+\ángulo OBC)=360° Dividiendo entre 2, obtenemos que: \ángulo OAB+\ángulo OBC=180° Pero estos ángulos son los ángulos adyacentes al ángulo ABC, que forman un ángulo llano. Por tanto, se cumple que: \ángulo ABC=180°-(\ángulo OAB+\ángulo OBC) Sustituyendo la igualdad anterior, obtenemos que: \ángulo ABC=180°-180° Simplificando, obtenemos que: \ángulo ABC=0° Sin embargo, esto es absurdo, ya que un ángulo no puede medir 0°. Por tanto, hemos llegado a una contradicción, y debemos rechazar la hipótesis inicial de que el triángulo ABC no es rectángulo. Esto implica que el triángulo ABC es rectángulo, y por tanto, tiene un ángulo de 90° opuesto al diámetro. Por lo tanto, hemos demostrado la segunda afirmación del teorema de Tales. ———— GEOMETRÍA ESPACIAL GEOMETRÍA ESPACIAL87 Geometría espacial, generalidades: “La geometría espacial es una rama de la geometría que se ocupa del estudio de las figuras geométricas que tienen volumen y ocupan un lugar en el espacio tridimensional o espacio euclídeo.” La geometría espacial tendrá lugar cuando los elementos estudiados queden ubicados en un punto o puntos de un entorno, en una o más dimensiones. El lugar donde existirán se llamará espacio geométrico, siendo este posible que tenga una, dos, tres o más dimensiones, donde podrán quedar ubicados y localizados los puntos que determinan la posición de un elemento. Espacio geométrico: “El espacio geométrico es un entorno dimensional donde existen ubicaciones, y donde hay unas propiedades concretas que determinan la naturaleza de los elementos, las formas y la relación entre ellos.” Plano de proyección: “Un plano de proyección es aquel espacio geométrico donde se proyecta un elemento, de menos, igual o más dimensiones.” Se llamará plano a cualquier espacio geométrico donde se proyecte un objeto que tenga menos, igual o más dimensiones que el espacio donde se proyecta. O sea, que en plano de tres dimensiones podrá quedar proyectado un objeto que esté definido en cuatro dimensiones, tal y como en un plano bidimensional podrá quedar proyectado un objeto tridimensional. “Se precisará dinámica o varias perspectivas para poder determinar la forma real de un objeto proyectado en un plano, de menos dimensiones de las que definen al objeto, o de las que participa la ubicación de este.” Cuando un objeto se proyecta en un plano con menos dimensiones que este, o con menos dimensiones de las que el objeto está participando, se precisará el movimiento o varias perspectivas para poder entender la forma real de dicho objeto, pues su proyección estática única tan solo podrá ofrecer una sombra parcial del objeto. GEOMETRÍA ESPACIAL88 Es por ello que se precisará la dinámica y el conocimiento de esta, que pueda dar a entender la forma del objeto, haciendo que su sombra. El plano de proyección de tres dimensiones, en que se satisfacen los postulados generales de la geometría, que originalmente dictó Euclides, se llamará espacio euclidiano o euclídeo, en honor a este. Espacio euclidiano o euclídeo: “El espacio euclidiano es un tipo de espacio geométrico donde se satisfacen los postulados generales de la geometría, en tres dimensiones.” La recta real, el plano euclídeo y el espacio tridimensional de la geometría euclidiana son casos especiales de espacios euclidianos de dimensiones 1, 2 y 3 respectivamente, que existen como referencia por ser los espacios máximos donde pueden existir ubicaciones dentro de sus dimensiones. En el caso de la recta real, tan solo pueden existir ubicaciones en una dimensión, en el plano euclídeo, en dos dimensiones, y en el espacio tridimensional, en tres. “La recta real, el plano euclídeo y el espacio tridimensional de la geometría euclidiana son casos especiales de espacios euclidianos de dimensiones 1, 2 y 3 respectivamente.” Recta real: “La recta real es un tipo de espacio geométrico donde se satisfacen los postulados generales de la geometría, en una dimensión.” Cuando una recta está ubicada en un espacio de más dimensiones, se verá como una línea, en la que un punto podrá estar dispuesto a lo largo de su longitud. El espacio de dos dimensiones que puede contener más de una recta será el plano euclidiano. Plano euclidiano: “El plano euclidiano es un tipo de espacio geométrico donde se satisfacen los postulados generales de la geometría, en dos dimensiones.” GEOMETRÍA ESPACIAL89 Cuando un plano euclidiano, de dos dimensiones, está ubicado en un espacio de tres dimensiones, se verá como una lámina, que tendrá ancho y alto, mas no poseerá grosor alguno, lo que lo hará invisible a aquel que quede con su visión paralela a él, estando en dicho plano. El plano de tres dimensiones que puede contener más de un plano euclidiano será el espacio euclidiano. Un ejemplo de plano euclidiano, dentro de la geometría del asalto, será el plano inferior. Este plano estará inmerso y ubicado en un espacio de tres dimensiones. Sobre el plano inferior se proyectarán otros elementos geométricos, que estarán fuera de él, y que existen también en el mismo espacio tridimensional. Algunos ejemplos de los elementos que se proyectarán sobre el plano inferior serán: El centro de masas proyectado, que será un punto adimensional. El diámetro común de los tiradores, siendo el diámetro de una circunferencia que pasa por el centro de masas proyectado de ambos tiradores. El segmento del arma, que será una línea finita, existente desde la sencillez de un tirador hasta la punta de su arma. Este segmento quedará ubicado en el espacio tridimensional, lo que hará que al proyectarse sobre el plano inferior precise de movimiento para determinar su verdadera longitud. El ángulo de desfase, que será el ángulo entre el diámetro común y la línea del foco paciente. Espacio euclidiano: “El espacio euclídeo es un tipo de espacio geométrico donde se satisfacen los postulados generales de la geometría, en tres dimensiones.” Un espacio euclidiano puede estar contenido en un espacio de más dimensiones. Ejemplo de esto es el espacio tridimensional que experimenta el humano, que tiene tres dimensiones y transcurre en el tiempo, siendo esta una cuarta dimensión en la que tiene lugar el espacio. “La realidad humana transcurre en un espacio euclidiano durante la dimensión temporal.” GEOMETRÍA ESPACIAL90 El espacio euclidiano o euclídeo se puede modelar con las líneas que pasan por el origen en un espacio vectorial, y se puede dotar de un producto escalar que permite medir distancias y ángulos. El espacio euclídeo se usa para modelar el espacio físico y tiene muchas aplicaciones en la física, la astronomía, la cartografía, el arte y otras áreas del conocimiento. Este espacio euclídeo se puede generalizar a otras dimensiones y a otras geometrías, como la geometría no euclidiana y la geometría diferencial. Las figuras que tienen volumen y ocupan un lugar en el espacio tridimensional o espacio euclídeo, también llamadas sólidos, se pueden clasificar en poliedros, que son cuerpos con todas las caras planas, y no poliedros o cuerpos redondos, que son cuerpos con al menos una cara curva. Algunos ejemplos de sólidos son el cubo, la esfera, el cilindro, el cono, la pirámide y el prisma. “Un sólido es una figura que tiene y ocupa volumen en un espacio tridimensional.” La geometría espacial se basa en un sistema de coordenadas formado por tres ejes ortogonales (perpendiculares dos a dos), normalizados (con la misma longitud de los vectores básicos) y dextrógiros (con el tercer eje como producto vectorial de los otros dos). Este sistema permite ubicar y medir los puntos, las rectas, los planos y los sólidos en el espacio. “Los planos de proyección cartesiana serán una herramienta funcional para analizar la ubicación, disposición, forma y relación de los elementos en el espacio.” La geometría espacial amplía y refuerza las proposiciones de la geometría plana, y es la base fundamental de otras ramas de las matemáticas, como la geometría analítica del espacio, la geometría descriptiva, la trigonometría esférica y la geometría diferencial. También tiene muchas aplicaciones en la física, la astronomía, la cartografía, el arte y otras áreas del conocimiento. GEOMETRÍA ESPACIAL91 Espacio tridimensional: “El espacio tridimensional es un tipo de espacio geométrico donde se satisfacen todo o algunos de los axiomas de Euclides de la geometría, en tres dimensiones.” De manera sencilla, el espacio tridimensional es un entorno en que existen tres dimensiones que pueden definir las magnitudes y formas de un objeto. Ejemplo de esto es el espacio en que existimos los humanos. En este espacio las tres dimensiones son nombradas como anchura, altura y profundidad. El espacio tridimensional se puede modelar con las líneas que pasan por el origen en un espacio vectorial, y se puede dotar de un producto escalar que permite medir distancias y ángulos. El espacio tridimensional se usa para modelar el espacio físico y tiene muchas aplicaciones en la física, la astronomía, la cartografía, el arte y otras áreas del conocimiento. “El espacio tridimensional se puede generalizar a otras dimensiones y a otras geometrías, como la geometría no euclidiana y la geometría diferencial.” Para describir el espacio tridimensional, se utiliza un sistema de coordenadas formado por tres ejes ortogonales (perpendiculares dos a dos), normalizados (con la misma longitud de los vectores básicos) y dextrógiros (con el tercer eje como producto vectorial de los otros dos). Este sistema permite ubicar y medir los puntos, las rectas, los planos y los sólidos en el espacio. Cada punto del espacio se puede representar mediante un vector o una terna ordenada de números reales, que indican la posición del punto respecto al origen y a los ejes. Por ejemplo, el punto P(2, -3, 4) se encuentra a dos unidades del origen en la dirección del eje x, a tres unidades en la dirección opuesta al eje y, y a cuatro unidades en la dirección del eje z. GEOMETRÍA ESPACIAL92 La distancia entre dos puntos del espacio se puede calcular mediante la fórmula de la distancia, que es una generalización del teorema de Pitágoras. Si los puntos son A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2), la distancia entre ellos es: d(A, B) = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2) El ángulo entre dos vectores del espacio se puede calcular mediante el producto escalar, que es una operación que asocia a cada par de vectores un número real. Si los vectores son u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3), el producto escalar entre ellos es: u · v = u1v1 + u2v2 + u3v3 El ángulo entre los vectores se puede obtener a partir de la siguiente fórmula, donde ||u|| y ||v|| son las longitudes o normas de los vectores: cos(θ) = (u · v) / (||u|| ||v||) El espacio tridimensional contiene diversas figuras geométricas, como las rectas, los planos y los sólidos. Una recta en el espacio se puede definir mediante una ecuación vectorial, que indica que todos los puntos de la recta son combinaciones lineales de un punto fijo y un vector director. Por ejemplo, la recta que pasa por el punto A(1, 2, 3) y tiene como vector director v = (2, -1, 4) se puede expresar como: r: (x, y, z) = (1, 2, 3) + t(2, -1, 4) Donde t es un parámetro real que varía libremente. Un plano en el espacio se puede definir mediante una ecuación cartesiana, que indica que todos los puntos del plano satisfacen una relación lineal entre sus coordenadas. Por ejemplo, el plano que pasa por el punto A(1, 2, 3) y tiene como vector normal n = (2, -1, 4) se puede expresar como: π: 2x - y + 4z = 17 Donde x, y, z son las coordenadas de los puntos del plano. GEOMETRÍA ESPACIAL93 Un sólido en el espacio es un cuerpo geométrico que tiene volumen y ocupa un lugar en el espacio. Los sólidos se pueden clasificar en poliedros, que son cuerpos con todas las caras planas, y no poliedros o cuerpos redondos, que son cuerpos con al menos una cara curva. Algunos ejemplos de sólidos son el cubo, la esfera, el cilindro, el cono, la pirámide y el prisma. El volumen de un sólido se puede calcular mediante diversas fórmulas, que dependen de la forma y las dimensiones del sólido. El volumen de un cubo de lado a es: V = a^3 El volumen de una esfera de radio r es: V = (4/3)πr^3 El volumen de un cilindro de radio r y altura h es: V = πr^2h El volumen de un cono de radio r y altura h es: V = (1/3) πr^2h El volumen de una pirámide de base B y altura h es: V = (1/3)Bh El volumen de un prisma de base B y altura h es: V = Bh GEOMETRÍA ESPACIAL94 GEOMETRÍA ESPACIAL95 Poliedros: “Un poliedro es un cuerpo geométrico tridimensional que posee caras que son polígonos planos. Los poliedros tendrán aristas, vértices y caras, que serán los elementos que los definirán en el espacio. Arista: “Una arista es el segmento de recta que une dos vértices de una cara.” Vértice: “Un vértice es el punto de encuentro de tres o más aristas.” Cara: “Una cara es cada uno de los planos que forman un ángulo diedro o poliedro, o cada uno de los polígonos que forman o limitan un poliedro.” Esto dará lugar a ángulos diedros y poliédricos: Ángulo diedro: “Un ángulo diedro es el ángulo que se forma entre dos caras que comparten una arista.” Ángulo poliédrico: “Un ángulo poliédrico es el ángulo que se forma entre las caras que concurren en un vértice.” GEOMETRÍA ESPACIAL96 Los poliedros se pueden clasificar según la forma y el número de sus caras, así como según la regularidad de sus elementos. Poliedros regulares: “Un poliedro regular es un cuerpo geométrico tridimensional, en que todas sus caras son polígonos regulares iguales, así como son iguales todas sus aristas, vértices, ángulos diedros y ángulos poliédricos.” Los poliedros regulares son aquellos que cumplen las siguientes condiciones: Todas sus caras son polígonos regulares iguales. Cabe recordar que un polígono regular es aquel que tiene todos sus lados y ángulos iguales. Todas sus aristas son iguales. Todos sus vértices son iguales. Todos sus ángulos diedros son iguales. Todos sus ángulos poliédricos son iguales. Solo existen cinco poliedros regulares, que se conocen como sólidos platónicos, en honor al filósofo griego Platón, que los estudió y relacionó con los elementos de la naturaleza. Tetraedro: Poliedro regular que tiene cuatro caras triangulares, seis aristas y cuatro vértices. Cada vértice está formado por tres caras y cada cara tiene tres aristas. El ángulo diedro es de 70,53º y el ángulo poliédrico es de 109,47º. Cubo o hexaedro: Poliedro regular que tiene seis caras cuadradas, doce aristas y ocho vértices. Cada vértice está formado por tres caras y cada cara tiene cuatro aristas. El ángulo diedro es de 90º y el ángulo poliédrico es de 90º. Octaedro: Poliedro regular que tiene ocho caras triangulares, doce aristas y seis vértices. Cada vértice está formado por cuatro caras y cada cara tiene tres aristas. El ángulo diedro es de 109,47º y el ángulo poliédrico es de 60º. GEOMETRÍA ESPACIAL97 Dodecaedro: Poliedro regular que tiene doce caras pentagonales, treinta aristas y veinte vértices. Cada vértice está formado por tres caras y cada cara tiene cinco aristas. El ángulo diedro es de 116,56º y el ángulo poliédrico es de 108º. Icosaedro: Poliedro regular que tiene veinte caras triangulares, treinta aristas y doce vértices. Cada vértice está formado por cinco caras y cada cara tiene tres aristas. El ángulo diedro es de 138,19º y el ángulo poliédrico es de 72º. Poliedros irregulares: “Los poliedros irregulares son aquellos que no cumplen alguna o todas las condiciones de los poliedros regulares.” Los poliedros regulares pueden tener caras de diferentes formas y tamaños, aristas de diferentes longitudes, vértices de diferente grado y ángulos diedros y poliédricos de diferentes medidas. Hay infinitos poliedros irregulares, y se pueden clasificar según distintos criterios, como la convexidad, la uniformidad o la simetría. Los poliedros convexos son aquellos que no tienen ninguna parte hundida o cóncava. Esto significa que si se traza un segmento entre dos puntos cualesquiera del poliedro, el segmento queda siempre dentro o en el borde del poliedro. Los poliedros regulares son convexos, sin embargo hay poliedros irregulares convexos, como los prismas, las pirámides, los antiprismas y los sólidos de Arquímedes. Prisma: Un prisma es un poliedro con dos caras iguales y paralelas llamadas bases, y caras laterales que son paralelogramos. Pirámide: Una pirámide es un poliedro, constituido por un polígono simple (llamado base) y triángulos que tienen un único lado que coincide con uno del polígono base. GEOMETRÍA ESPACIAL98 Antiprisma: Un antiprisma es un poliedro que tiene dos caras iguales paralelas que, a diferencia del prisma, están giradas y reunidas por medio de triángulos. Sólido de Arquímedes: Los sólidos arquimedianos, también llamados poliedros semiregulares, son unos poliedros convexos formados por polígonos regulares de dos o más tipos. La mayoría de ellos se obtienen por truncamiento de los sólidos platónicos. Los poliedros cóncavos son aquellos que tienen alguna parte hundida o cóncava. Esto significa que si se traza un segmento entre dos puntos cualesquiera del poliedro, el segmento puede quedar fuera del poliedro. Los poliedros cóncavos son siempre irregulares, y algunos ejemplos son los poliedros estrellados, como el pequeño dodecaedro estrellado y el gran icosaedro estrellado. Los poliedros uniformes son aquellos que tienen todas sus caras regulares y todos sus vértices iguales. Esto significa que si se rota el poliedro alrededor de cualquier vértice, el poliedro queda igual que antes. Los poliedros regulares son uniformes, no obstante también hay poliedros irregulares uniformes, como los sólidos de Arquímedes, los prismas y los antiprismas. Los poliedros no uniformes son aquellos que no tienen todas sus caras regulares o no tienen todos sus vértices iguales. Esto significa que si se rota el poliedro alrededor de cualquier vértice, el poliedro no queda igual que antes. Los poliedros no uniformes son siempre irregulares, y algunos ejemplos son las pirámides, los prismoides y los poliedros de Johnson. Los poliedros simétricos son aquellos que tienen algún tipo de simetría, es decir, que se pueden transformar en sí mismos mediante una rotación, una reflexión o una traslación. Los poliedros regulares son simétricos, mas también hay poliedros irregulares simétricos, como los prismas, las pirámides, los antiprismas y los sólidos de Arquímedes. Los poliedros asimétricos son aquellos que no tienen ningún tipo de simetría, es decir, que no se pueden transformar en sí mismos mediante una rotación, una reflexión o una traslación. Los poliedros asimétricos son siempre irregulares, y algunos ejemplos son los poliedros de Johnson, como la bipirámide triangular giroelongada y el prisma pentagonal giroelongado. GEOMETRÍA ESPACIAL99 Cuerpos redondos: “Un cuerpo redondo es una figura geométrica sólida tridimensional que tiene, al menos, una de sus caras o superficie en forma curva.” Los cuerpos redondo también se pueden denominan cuerpos de revolución, pues pueden obtenerse a partir de una figura que gira alrededor de un eje. Los cuerpos redondos más comunes son el cono, el cilindro, la esfera y el anillo. Cono: El cono es un cuerpo redondo que se forma al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Tiene una base circular, una cara lateral curva y un vértice llamado cúspide. El cono puede ser recto, si el eje coincide con la altura, u oblicuo, si el eje y la altura no coinciden. El volumen del cono se calcula como un tercio del producto del área de la base por la altura: V = (1/3)πr^2h, donde r es el radio de la base y h es la altura. Cilindro: El cilindro es un cuerpo redondo que se forma al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados. Tiene dos bases circulares paralelas y una cara lateral curva. El cilindro puede ser recto, si el eje coincide con la altura, u oblicuo, si el eje y la altura no coinciden. El volumen del cilindro se calcula como el producto del área de la base por la altura: V = πr^2h, donde r es el radio de la base y h es la altura. El volumen ocupado por la hoja del arma láser será un cilindro, tanto en el plano literal como en el figurado. El segmento del arma, o la cuerda de esta, el lado por el que gira el hipotético rectángulo, que tendrá la misma longitud que el segmento del arma y un ancho de la mitad de la sección de la hoja. GEOMETRÍA ESPACIAL100 Esfera: La esfera es un cuerpo redondo que se forma al girar una semicircunferencia alrededor de su diámetro. Tiene una sola superficie curva y no tiene aristas ni vértices. El volumen de la esfera se calcula como cuatro tercios del producto del número pi por el cubo del radio: V = (4/3) πr^3, donde r es el radio de la esfera. Anillo: El anillo es un cuerpo redondo que se forma al girar un trapecio alrededor de uno de sus lados paralelos. Tiene dos bases circulares concéntricas y una cara lateral curva. El volumen del anillo se calcula como el producto del área de la sección transversal por la longitud de la circunferencia media: V = Ah, donde A es el área de la sección transversal y h es la longitud de la circunferencia media. GEOMETRÍA ESPACIAL101 Poliedros de Arquímedes y de Kepler-Poinsot: “Los poliedros de Arquímedes y de Kepler- Poinsot son dos familias de poliedros no convexos que se obtienen a partir de los poliedros regulares o sólidos platónicos.” Los poliedros de Arquímedes y de Kepler-Poinsot son interesantes desde el punto de vista matemático, estético y simbólico. Tienen propiedades geométricas, algebraicas y topológicas que los relacionan entre sí y con los poliedros regulares. También tienen una armonía que los hacen atractivos para el arte y el diseño. Además, tienen una historia y una asociación de la filosofía clásica que los vinculan regularmente con la naturaleza y el cosmos. Poliedros de Arquímedes: Los poliedros de Arquímedes son aquellos que tienen todas sus caras regulares, siendo de dos o más tipos, y todos sus vértices iguales. Se pueden obtener truncando o combinando los poliedros regulares. Hay trece poliedros de Arquímedes, que se conocen como el tetraedro truncado, el cubo truncado, el octaedro truncado, el icosaedro truncado, el dodecaedro truncado, el cuboctaedro, el icosaedro truncado, el dodecaedro truncado, el rombicuboctaedro, el rombicosidodecaedro, el snub cubo, el snub dodecaedro y el gran rombicuboctaedro. Poliedros de Kepler-Poinsot: Los poliedros de Kepler-Poinsot son aquellos que tienen todas sus caras regulares, siendo de forma estrellada, y todos sus vértices iguales. Se pueden obtener estrellando o prolongando las aristas de los poliedros regulares. Hay cuatro poliedros de Kepler-Poinsot, que se conocen como el pequeño dodecaedro estrellado, el gran dodecaedro estrellado, el gran icosaedro y el gran dodecaedro. Estos poliedros se llaman poliedros de Kepler-Poinsot, en honor a los matemáticos Johannes Kepler y Louis Poinsot, que los descubrieron y estudiaron. ———— GEOMETRÍA ALGEBRAICA GEOMETRÍA ALGEBRAICA105 Coordenadas cartesianas y polares: “Las coordenadas cartesianas y polares son dos sistemas de referencia que permiten ubicar y medir los puntos en el plano o en el espacio.” Las coordenadas cartesianas y las coordenadas polares son sistemas que se sirven para ubicar y relacionar puntos en un plano de proyección o en un espacio geométrico. Estas se basan en el uso de ejes, ángulos y distancias, que tienen diferentes formas de definirlos y expresarlos. Coordenadas cartesianas: Sistema de referencia en que se utilizan dos o tres ejes perpendiculares entre sí, llamados ejes x, y, z, que se cortan en un punto llamado origen. Cada punto del plano o del espacio se puede representar mediante un par o una terna ordenada de números reales, que indican la posición del punto respecto al origen y a los ejes. Las coordenadas cartesianas se originan en el trabajo del matemático francés René Descartes, que en el siglo XVII propuso un método para relacionar la geometría y el álgebra. Estos números se llaman coordenadas cartesianas, y se suelen escribir entre paréntesis y separados por comas. Por ejemplo, el punto P(2, -3, 4) se encuentra a dos unidades del origen en la dirección del eje x, a tres unidades en la dirección opuesta al eje y, y a cuatro unidades en la dirección del eje z. Coordenadas polares: Sistema de referencia en que se utiliza un eje llamado eje polar, que se toma como referencia, y un punto llamado polo, que se toma como origen. Cada punto del plano se puede representar mediante un par ordenado de números reales, que indican la distancia y el ángulo del punto respecto al polo y al eje polar. Las coordenadas polares se originan en el trabajo del matemático griego Arquímedes, que en el siglo III a.C. utilizó un sistema de medición basado en círculos concéntricos y radios. GEOMETRÍA ALGEBRAICA106 Estos números se llaman coordenadas polares, y se suelen escribir entre paréntesis y separados por una coma. Por ejemplo, el punto Q(5, 60º) se encuentra a cinco unidades del polo y forma un ángulo de 60º con el eje polar. Las coordenadas cartesianas y polares se pueden convertir entre sí mediante unas fórmulas que relacionan las variables de ambos sistemas. Estas fórmulas se pueden obtener aplicando el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas al triángulo rectángulo que se forma al trazar una perpendicular desde el punto al eje x o al eje polar. Las fórmulas son las siguientes: De cartesianas a polares: r = √(x^2 + y^2) θ = tan^-1(y / x) De polares a cartesianas: x = r * cos(θ) y = r * sin(θ) Estas fórmulas se pueden generalizar a tres dimensiones, añadiendo una tercera coordenada que indica la altura del punto respecto al plano xy o al plano polar. GEOMETRÍA ALGEBRAICA107 Vectores: “Los vectores son entidades matemáticas que se pueden representar mediante segmentos de recta orientados, y que sirven para describir magnitudes físicas que tienen, dirección, sentido y módulo.” Los vectores se pueden definir en el plano o en el espacio, y se pueden caracterizar por sus componentes, que son los números que indican la posición del vector respecto a un sistema de coordenadas. Los vectores se pueden operar mediante la suma, la resta, el producto escalar, el producto vectorial y el producto mixto, entre otras operaciones, y se pueden aplicar a diversos campos de la ciencia, la ingeniería, la informática y el arte. En el contexto esgrimístico laserino académico, los vectores tendrán una utilidad notable en la descripción de la dinámica de los elementos técnicos dentro del asalto, así como filosóficos fuera de él. Punto de aplicación: El punto de aplicación de un vector es el punto donde se sitúa el origen o la cola del vector, es decir, el punto desde donde se mide el vector. El punto de aplicación es importante para determinar la posición y el movimiento de un vector, así como para operar con vectores fijos o concurrentes. Sentido de un vector: El sentido de un vector es la dirección hacia donde apunta el vector, es decir, el lado donde se encuentra la punta o la cabeza del vector. El sentido se suele indicar mediante una flecha sobre el vector, y se puede invertir cambiando el signo del vector. El sentido es importante para determinar la orientación y la fuerza de un vector, así como para operar con vectores opuestos o perpendiculares. GEOMETRÍA ALGEBRAICA108 Dirección de un vector: La dirección de un vector es la recta que contiene al vector, es decir, el ángulo que forma el vector con un eje de referencia. La dirección se suele medir en grados o en radianes, y se puede modificar rotando el vector alrededor de su punto de aplicación. La dirección es importante para determinar la inclinación y la proyección de un vector, así como para operar con vectores colineales o coplanarios. Módulo de un vector: El módulo de un vector es la longitud o la magnitud del vector, es decir, la distancia entre el origen y la punta del vector. El módulo se suele representar mediante una letra minúscula o mediante el vector entre barras, y se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras o mediante el producto escalar. El módulo es importante para determinar el tamaño y la intensidad de un vector, así como para operar con vectores unitarios o nulos. Dependencia de un vector: La dependencia de un vector es la relación que existe entre un vector y otros vectores, es decir, si un vector se puede expresar como una combinación lineal de otros vectores. La dependencia se puede clasificar en lineal o afín, y se puede determinar mediante el rango o el determinante de una matriz de vectores. La dependencia es importante para determinar la independencia y la base de un vector, así como para operar con vectores paralelos u ortogonales. GEOMETRÍA ALGEBRAICA109 Los vectores se pueden clasificar según la naturaleza de sus elementos: Vectores libres: Los vectores libres son aquellos que solo dependen de su módulo, sentido y dirección, y que se pueden trasladar libremente sin alterar sus características. Vectores fijos: Los vectores fijos son aquellos que tienen un punto de aplicación fijo, y que no se pueden trasladar sin cambiar su posición. Vectores opuestos: Los vectores opuestos son aquellos que tienen el mismo módulo y dirección, con sentidos contrarios. Vectores colineales: Los vectores colineales son aquellos que comparten una misma recta de acción, es decir, que tienen la misma o paralela dirección. Vectores coplanarios: Los vectores coplanarios son aquellos que pertenecen a un mismo plano, es decir, que se pueden trasladar hasta que sus rectas de acción sean paralelas. Vectores concurrentes: Los vectores concurrentes son aquellos que se cortan en un mismo punto, es decir, que tienen un punto de aplicación común. Vectores perpendiculares: Los vectores perpendiculares son aquellos que forman un ángulo de 90º entre sí, es decir, que tienen direcciones ortogonales. GEOMETRÍA ALGEBRAICA110 Vectores unitarios: Los vectores unitarios son aquellos que tienen módulo igual a 1, es decir, que tienen la misma dirección y sentido que el vector original, con menor longitud. Vectores nulos: Los vectores nulos son aquellos que tienen módulo igual a 0, es decir, que no tienen dirección ni sentido definidos. GEOMETRÍA ALGEBRAICA111 Curvas y superficies algebraicas: “Las curvas y superficies algebraicas son objetos geométricos que se pueden definir mediante ecuaciones polinómicas.” Las curvas y superficies algebraicas son objetos de estudio de la geometría algebraica, una rama de las matemáticas que combina el álgebra y la geometría. Explicado de una forma estrictamente técnica, son el conjunto de puntos que satisfacen una o más ecuaciones, de la siguiente forma: f(x, y, z, …) = 0 Donde f es un polinomio en varias variables. Por ejemplo, una circunferencia con centro en el origen es una curva algebraica que se puede definir mediante la ecuación: x^2 + y^2 = r^2 Donde r es el radio de la circunferencia. Una esfera es una superficie algebraica que se puede definir mediante la ecuación: x^2 + y^2 + z^2 = r^2 Donde r es el radio de la esfera. La geometría algebraica se ocupa de analizar las propiedades de las curvas y superficies algebraicas, como su forma, su dimensión, su grado, su singularidad, su clasificación, su intersección, su simetría, su invariancia, etc. También se interesa por las relaciones entre las curvas y superficies algebraicas y otros conceptos matemáticos, como las funciones, los cuerpos, las variedades, los grupos, los anillos, los ideales, etc. GEOMETRÍA ALGEBRAICA112 Aplicaciones potenciales de las curvas y superficies algebraicas: “La comprensión de las curvas y superficies algebraicas permitirán representar la trazada de una hoja por el espacio, durante un tiempo concreto.” Siendo así, se posibilitará el estudio geométrico de esta, de manera precisa y absoluta, así como la interacción entre las hojas. La dinámica de cada una de las hojas podrá entenderse como una superficie algebraica. Así mismo, se podrán entender la dinámica cada uno de sus puntos de referencia de arma y anatomía de los tiradores, al tratarlos como curvas algebraicas, generadas en su tránsito por el espacio. “Las curvas y superficies algebraicas posibilitarán el estudio de la dinámica de los elementos implícitos en el asalto.” Además, en un plano más general, las curvas y superficies algebraicas podrán representar y modelar fenómenos naturales, físicos, químicos, biológicos, etc. Por ejemplo, las curvas elípticas se usan para describir las órbitas de los planetas, las superficies de Riemann se usan para estudiar las funciones complejas, las superficies de Kummer se usan para modelar el ADN, etc. Otra aplicación de las de las curvas y superficies algebraicas es la de resolver y simplificar problemas matemáticos, como ecuaciones, sistemas, integrales, derivadas, etc. Por ejemplo, las curvas de Bézier se usan para aproximar curvas complicadas, las superficies de Nash se usan para resolver ecuaciones diferenciales, las superficies de Enneper se usan para minimizar áreas, etc. También se podrá codificar y descifrar información, usando técnicas de criptografía y teoría de códigos. Por ejemplo, las curvas elípticas se usan para generar claves públicas y privadas, las superficies de Goppa se usan para construir códigos correctores de errores, las superficies de Kummer se usan para implementar algoritmos de factorización, etc. Esto tendrá una aplicación profunda en la estadística relativa al análisis de resultados de las interacciones y obras de los tiradores en asalto pues, con el suficiente volumen de datos, se podrá hacer un estudio de su técnica, que permita entender errores presentes que son escasamente notables sin el estudio específico. Es importante entender que las curvas y superficies algebraicas servirán para crear y manipular imágenes y gráficos, basados en geometría, usando programas informáticos de diseño y animación. Por ejemplo, las curvas de Bézier se usan para dibujar curvas suaves, las superficies de Bézier se usan para modelar objetos tridimensionales, las superficies de Catmull-Clark se usan para suavizar superficies poligonales, etc. GEOMETRÍA ALGEBRAICA113 Matrices: “Las matrices son arreglos bidimensionales de números, símbolos o expresiones, que se organizan en filas y columnas.” Las matrices se pueden representar entre paréntesis, corchetes o barras, y se pueden identificar por su dimensión, que es el número de filas por el número de columnas. Por ejemplo, una matriz de 2 x 3 tiene dos filas y tres columnas, y se puede escribir así: [1 2 3] [4 5 6] Las matrices se pueden operar mediante la suma, la resta, el producto por un escalar, el producto entre matrices, la inversa, la traspuesta y el determinante, entre otras operaciones. Estas operaciones tienen sus propias reglas y propiedades, que se pueden estudiar con el álgebra lineal. Las matrices tienen muchas aplicaciones en diversos campos de la ciencia, la ingeniería, la informática y la expresión artística: Resolver sistemas de ecuaciones lineales, usando el método de Gauss-Jordan o la regla de Cramer. Representar transformaciones lineales, como rotaciones, traslaciones, escalados y reflexiones, usando matrices de cambio de base o de rotación. Codificar y descodificar información, usando matrices de cifrado o de compresión. Modelar redes y grafos, usando matrices de adyacencia o de incidencia. Analizar datos estadísticos, usando matrices de correlación o de covarianza. Simular procesos dinámicos, usando matrices de transición o de Markov. Crear imágenes y gráficos, usando matrices de píxeles o de colores. ———— GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA117 Geometría no euclidiana, generalidades: “La geometría no euclidiana es un conjunto de condiciones en las que los elementos que conforman lo material cumplen los cuatro primeros postulados de Euclides, mas no el quinto.” La geometría no euclidiana es un tipo de geometría que se basa en axiomas diferentes a los de la geometría euclidiana, que fue desarrollada por el matemático griego Euclides en su obra Elementos. La geometría euclidiana se basa en cinco postulados, de los cuales el quinto, conocido como el postulado de las paralelas, establece que por un punto exterior a una recta pasa una única recta paralela a la dada. Este postulado fue considerado menos evidente que los otros cuatro, y muchos matemáticos intentaron demostrarlo a partir de ellos, sin éxito. La geometría no euclidiana surge al reemplazar el postulado de las paralelas por otro diferente, o al relajar el requisito de que la distancia entre dos puntos se mida por una línea recta. “La geometría no euclidiana surge al modificar el quito postulado de Euclides.” Existen dos tipos principales de geometría no euclidiana: la geometría elíptica y la geometría hiperbólica. Geometría elíptica: En la geometría elíptica, no existen rectas paralelas, y la suma de los ángulos interiores de un triángulo es mayor que 180 grados. Geometría hiperbólica: En la geometría hiperbólica, por un punto exterior a una recta pasan infinitas rectas paralelas a la dada, y la suma de los ángulos interiores de un triángulo es menor que 180 grados. A modo estrictamente ilustrativo, cabe decir que estas geometrías se pueden visualizar en superficies curvas, como una esfera en el caso de la geometría elíptica, o sobre una silla de montar en el caso de la geometría hiperbólica. GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA118 Diferenciaciones principales de la geometría no euclidiana respecto a la geometría euclidiana: La noción de recta se generaliza a la de geodésica, que es la curva más corta entre dos puntos en una superficie. En la geometría no euclidiana, el concepto de ángulo se mantiene igual que en la geometría euclidiana, mientras que el de área y perímetro se modifica según la curvatura de la superficie. El teorema de Pitágoras solo se cumple en la geometría euclidiana, y se obtienen otras fórmulas para las geometrías hiperbólica y elíptica. El teorema de Tales, que establece que las rectas paralelas cortan a otras rectas en segmentos proporcionales, solo se aplica en la geometría euclidiana, y se obtienen otras proporciones para las geometrías hiperbólica y elíptica. El teorema de la circunferencia, que afirma que el ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del ángulo central, se mantiene en las tres geometrías, mas el concepto de circunferencia se modifica según la curvatura de la superficie. La geometría no euclidiana tiene muchas aplicaciones en la física, la astronomía, la cartografía, el arte y otras áreas del conocimiento. Por ejemplo, la teoría de la relatividad general de Einstein utiliza la geometría no euclidiana para describir el espacio-tiempo curvo por la presencia de masa y energía. También se usan modelos no euclidianos para representar la forma de la Tierra, que no es exactamente una esfera, sino un geoide. Además, algunos artistas, como Escher, han explorado las posibilidades estéticas de la geometría no euclidiana en sus obras. Un ejemplo de esta geometría, dentro de la comprensión académica de la Esgrima Láser, es la diástasis o dimensión del medio, siendo esta concebida como un plano o espacio pentadimensional no euclidiano, sobre el que los tiradores podrán desplazarse, de manera independiente y adicional a las dimensiones espaciales y temporal. “La diástasis, o dimensión del medio, será concebida como un plano no euclidiano sobre la que los tiradores podrán desplazarse, de manera independiente a las dimensiones espaciales y temporal.” GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA119 Geometría elíptica: “La geometría elíptica es un tipo de geometría no euclidiana que se caracteriza por tener una curvatura positiva y constante, donde la suma de los ángulos interiores de un triángulo es mayor que 180 grados.” La geometría elíptica dicta que las líneas rectas de esta son en realidad curvas cerradas que se cortan entre sí en dos puntos, y que no existen líneas paralelas. Un ejemplo de superficie que tiene geometría elíptica es la esfera, como la superficie de la Tierra. La geometría elíptica se diferencia en varios aspectos de la geometría euclidiana, que es la geometría de las superficies planas. La geometría elíptica, la suma de los ángulos interiores de un triángulo es mayor que 180 grados, y depende del área del triángulo. También, Teorema de Pitágoras no se cumple en general, y se obtienen otras fórmulas para calcular la longitud de los lados de un triángulo. El concepto de área y perímetro cambia entre la geometría euclidiana y la elíptica, quedando en esta última dependiente de la distancia al centro de la esfera. Las características principales de la geometría elíptica son las siguientes: La noción de recta se generaliza a la de geodésica, que es la curva más corta entre dos puntos en una superficie. No existen rectas paralelas, y las rectas son en realidad curvas cerradas que se cortan entre sí en dos puntos. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es mayor que 180 grados, y depende del área del triángulo. El teorema de Pitágoras no se cumple en general, y se obtienen otras fórmulas para calcular la longitud de los lados de un triángulo. El concepto de área y perímetro cambia, y depende de la distancia al centro de la esfera. El teorema de la circunferencia se mantiene, sin embargo, el concepto de circunferencia se modifica según la curvatura de la superficie. GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA120 La geometría elíptica tiene muchas aplicaciones en la física, la astronomía, la cartografía y el arte. Ejemplo recurrente de esto, es la teoría de la relatividad general de Einstein, que usa la geometría elíptica para describir el espacio-tiempo curvo, debido a la presencia de masa y energía. También se usan modelos elípticos para representar la forma de la Tierra, que no es exactamente una esfera, sino un geoide. Además, algunos artistas, como Escher, han explorado las posibilidades estéticas de la geometría elíptica en sus obras. La geometría elíptica tiene una aplicación notable en el análisis profundo del asalto. Esto aplica al estudio de la superficie exterior de la dimensión de cualquier medio, siendo más notable en el estudio del medio particular. Esto es así dado que el medio particular tiende a ser más definido que cualquier otro medio, y tenderá a configurarse como una forma relativamente curva. “Cualquier geometría proyectada sobre la superficie exterior de la diástasis tenderá a cumplir las condiciones de la geometría elíptica.” GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA121 Geometría hiperbólica: “La geometría hiperbólica es un tipo de geometría no euclidiana que se caracteriza por tener una curvatura negativa y constante, donde la suma de los ángulos interiores de un triángulo es menor que 180 grados,” En esencia, esto significa que las líneas rectas de esta geometría son en realidad curvas abiertas que no se cortan entre sí, y que existen infinitas líneas paralelas a una dada que pasan por un punto exterior. Un ejemplo de superficie que tiene geometría hiperbólica es la pseudoesfera, que se obtiene al rotar una tractriz alrededor de su asíntota. La geometría hiperbólica se diferencia en varios aspectos de la geometría euclidiana, que es la geometría de las superficies planas. En la geometría hiperbólica, la suma de los ángulos interiores de un triángulo es menor que 180 grados, y depende del área del triángulo. El teorema de Pitágoras no se cumple en general, y se obtienen otras fórmulas para calcular la longitud de los lados de un triángulo. El concepto de área y perímetro también cambia, y depende de la distancia al centro de la pseudoesfera. Las características principales de la geometría hiperbólica son las siguientes: La noción de recta se generaliza a la de geodésica, que es la curva más corta entre dos puntos en una superficie. El concepto de ángulo se mantiene igual que en la geometría euclidiana, mas el de área y perímetro se modifica según la curvatura de la superficie. El teorema de Pitágoras solo se cumple en la geometría euclidiana, y se obtienen otras fórmulas para las geometrías hiperbólica y elíptica. GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA122 El teorema de Tales, que establece que las rectas paralelas cortan a otras rectas en segmentos proporcionales, solo se aplica en la geometría euclidiana, y se obtienen otras proporciones para las geometrías hiperbólica y elíptica. El teorema de la circunferencia, que afirma que el ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del ángulo central, se mantiene en las tres geometrías, mientras que el concepto de circunferencia se modifica según la curvatura de la superficie. La geometría hiperbólica tiene muchas aplicaciones en la física, la astronomía, la cartografía, el arte y otras áreas del conocimiento. Siendo nuevamente ejemplo de esta la teoría de la relatividad especial de Einstein, que utiliza la geometría hiperbólica para describir el espacio-tiempo plano con una métrica de Lorentz. También se usan modelos hiperbólicos para representar el espacio hiperbólico, que es el espacio de curvatura constante negativa. La geometría hiperbólica es la herramienta usada en la Esgrima Láser, por ejemplo, para determinar la dimensión, naturaleza y potencia de herir u obrar en el horizonte de sucesos del medio proporcional de un sujeto que, actuando spins o con potencia de herir de tajo, se desplaza por el plano inferior. Este sujeto generará una forma toroidal con su trazada en el espacio, siendo dentro de esa figura donde el medio le sería proporcionado, teniendo que usarse la geometría hiperbólica para la comprensión de la naturaleza y geometría proyectada sobre la superficie de este horizonte de sucesos del medio proporcional. Toroide: “El toroide es una superficie de revolución engendrada por una curva cerrada y plana que gira alrededor de una recta fija de su plano y exterior a ella.” GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA123 Geometría proyectiva: “La geometría proyectiva es la rama de la matemática que estudia las propiedades de incidencia de las figuras geométricas sin usar medidas ni comparar longitudes.” La geometría proyectiva se basa en los conceptos de perspectiva, horizonte y proyección. Se puede modelar con las líneas que pasan por el origen en un espacio tridimensional. Se aplica al estudio de curvas y superficies como las cónicas y las cuádricas. Se divide en: Homología: La homología es la proyección de dos figuras planas desde un punto exterior a sus planos, Afinidad: La afinidad es la transformación que conserva las proporciones entre segmentos paralelos. La geometría proyectiva se originó en el siglo XVII con los trabajos de Gérard Desargues, que fundamentó matemáticamente los métodos de la perspectiva que habían desarrollado los artistas del Renacimiento. Sin embargo, su obra pasó desapercibida hasta el siglo XIX, cuando Jean-Victor Poncelet, August Möbius, Arthur Cayley y otros matemáticos la retomaron y la ampliaron. Uno de los aportes más importantes de Poncelet fue el principio de dualidad, que establece que si en cualquier teorema proyectivo se intercambian las palabras punto y recta, se obtiene otro teorema igualmente válido. Algunos ejemplos de teoremas duales son los de Pascal y Brianchon, que relacionan los puntos de intersección de las rectas que unen los vértices opuestos de un hexágono inscrito o circunscrito en una cónica. GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA124 La geometría proyectiva se diferencia notablemente de la geometría euclidiana, en distintos aspectos: En la geometría proyectiva, no existen las rectas paralelas, sino que todas las rectas se cortan en un punto, que puede ser un punto del infinito o un punto impropio. Estos puntos forman una recta del infinito o una recta impropia, que es la frontera del plano proyectivo. En la geometría proyectiva, no se cumple el quinto postulado de Euclides, que establece que por un punto exterior a una recta pasa una única recta paralela a la dada. En la geometría proyectiva se cumple el axioma de Desargues, que afirma que si dos triángulos están en perspectiva desde un punto, entonces están en perspectiva desde una recta. La geometría proyectiva tiene muchas aplicaciones en la física, la astronomía, la cartografía, el arte y otras áreas del conocimiento. De nuevo, un ejemplo ideal para la comprensión de la aplicabilidad de la geometría proyectiva, es la teoría de la relatividad general de Einstein, que utiliza la geometría proyectiva para describir distintas facetas del espacio-tiempo curvo por la presencia de masa y energía. En la Esgrima Láser, la geometría proyectiva es esencial para entender la representación gráfica de los elementos, cumpliendo escrupulosamente con proporciones de las formas y dinámicas. Siendo así, la geometría proyectiva es una herramienta fundamental para el estudio de los productos documentales y artísticos gráficos, pues de su comprensión depende la fiabilidad de lo tratado. GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA125 Geometría afín: “La geometría afín es una rama de la matemática que estudia las propiedades geométricas que se conservan bajo las transformaciones afines, como las traslaciones, las rotaciones, las homotecias y las reflexiones.” Se puede decir, de una manera más sencilla y elemental que: “La geometría afín es el estudio de las propiedades geométricas que permanecen inmutables bajo las transformaciones afines.” Transformación afín: “Una transformación afín es el cambio de dimensión de una forma sin afectar a la relación lineal que existe entre sus elementos.” En esencia: “La geometría afín explica la el aumento y disminución de los cuerpos, así como el cambio de ubicación de estos, manteniendo sus proporciones.” Esta geometría da lugar a transformaciones que preservan la colinealidad, la proporcionalidad y el paralelismo de las figuras, mas no necesariamente las distancias ni los ángulos. La geometría afín se puede considerar como una generalización de la geometría euclídea, que es la geometría de las superficies planas, donde se ignoran el tercer y el cuarto postulado de Euclides. La geometría afín se basa en el concepto de espacio afín. Espacio afín: “El espacio afín es un conjunto de puntos que se pueden sumar con vectores, que no tienen un origen definido.” Un espacio afín se puede obtener a partir de un espacio vectorial, que es un conjunto de vectores que se GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA126 pueden sumar y multiplicar por escalares, al elegir un punto arbitrario como origen y asignarle el vector nulo. Un espacio afín se puede identificar con un espacio vectorial mediante una traslación, que es una transformación afín que suma un mismo vector a todos los puntos. Un espacio afín tiene una dimensión, que es el número de vectores linealmente independientes que se necesitan para generar todos los vectores del espacio. La geometría afín se divide en dos partes: la homología y la afinidad. Homología: “La homología del espacio afín es la proyección de dos figuras planas desde un punto exterior a sus planos, que conserva la colinealidad y la razón doble de los puntos.” La razón doble de cuatro puntos A, B, C y D en una recta es el cociente entre las razones de las distancias de los puntos, es decir, (AC/AD)/(BC/BD). La homología se puede representar mediante una matriz de 3x3, que tiene un determinante distinto de cero y que actúa sobre las coordenadas homogéneas de los puntos. La homología tiene un centro, que es el punto de intersección de las rectas que unen los puntos homólogos, y un eje, que es la recta que pasa por el centro y que contiene los puntos que son homólogos de sí mismos. Afinidad: “La afinidad del espacio afín es la transformación que conserva las proporciones entre segmentos paralelos, es decir, si A, B, C y D son cuatro puntos en dos rectas paralelas, entonces (AB/AC)=(A’B’/A’C’), donde A’, B’, C’ y D’ son sus imágenes por la afinidad.” La afinidad se puede representar mediante una matriz de 2x2, que tiene un determinante distinto de cero y que actúa sobre las coordenadas cartesianas de los puntos. La afinidad tiene una dirección, que es la recta que contiene los puntos que son afines de sí mismos, y una razón, que es el cociente entre las longitudes de los segmentos afines. La afinidad se puede descomponer en una homotecia, que es una transformación que multiplica las distancias por un mismo factor, y una rotación, que es una transformación que gira los puntos alrededor de un centro. GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA127 La geometría afín es usada, dentro del ámbito académico de la Esgrima Láser, por ejemplo, para realizar la transformación de las propiedades y posibilidades de las distintas anatomías posibles de los tiradores. Esto quiere decir que la geometría afín es usada en la Esgrima Láser para entender cómo afecta al medio que un tirador posea una mayor o menor dimensión de sus elementos anatómicos, pues siempre existirán cuerpos con mayores dimensiones que otros, debiéndose entender la manera en la que la técnica esgrimística ha de adaptarse para conservar la funcionalidad. Geometría diferencial: “La geometría diferencial es una rama de la matemática que estudia la geometría usando las herramientas del análisis matemático y del álgebra multilineal.” Los objetos de estudio de este campo son las variedades diferenciables, que generalizan la noción de superficie en el espacio euclídeo, así como las aplicaciones diferenciables entre ellas. La geometría diferencial utiliza técnicas de cálculo diferencial, cálculo integral, álgebra lineal y álgebra multilineal. Variedades diferenciables: “Las variedades diferenciables son espacios topológicos que localmente se parecen al espacio euclídeo de cierta dimensión, y que además tienen una estructura diferenciable, es decir, un conjunto de cartas o sistemas de coordenadas que permiten definir funciones y derivadas en la variedad.” Las variedades diferenciables se pueden clasificar según su dimensión, su orientabilidad, su compacidad y su conectividad. Algunos ejemplos de variedades diferenciables son las curvas, las superficies, las esferas, los toros, los cilindros y los hiperplanos. Las aplicaciones diferenciables son funciones entre variedades diferenciables que preservan la estructura diferenciable, es decir, que son compatibles con las cartas o sistemas de coordenadas de las variedades. Las aplicaciones diferenciables se pueden medir según su grado de regularidad, que se expresa mediante el número de veces que se pueden derivar. Las aplicaciones diferenciables se pueden clasificar según su biyectividad, su inyectividad, su sobreyectividad y su linealidad. Algunos ejemplos de aplicaciones diferenciables son las proyecciones, las inclusiones, las restricciones, las isometrías y las homotopías. GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA128 La geometría diferencial se ocupa de estudiar las propiedades geométricas de las variedades diferenciables y las aplicaciones diferenciables, así como de definir conceptos e invariantes que las caractericen. Algunos de estos conceptos e invariantes son: La tangente, que es la dirección de la derivada de una curva en un punto de una variedad. El plano tangente, que es el espacio vectorial generado por las tangentes de todas las curvas que pasan por un punto de una variedad. El espacio tangente, que es el conjunto de todos los planos tangentes de una variedad. La derivada, que es la razón de cambio de una función en un punto de una variedad. La diferencial, que es la aplicación lineal que relaciona los espacios tangentes de dos variedades mediante una aplicación diferenciable. La integral, que es el valor acumulado de una función a lo largo de una curva o una superficie en una variedad. La forma diferencial, que es una función que asigna a cada punto de una variedad un elemento del espacio dual del espacio tangente. La forma de volumen, que es una forma diferencial que mide el volumen de una variedad. La curvatura, que es una medida de la desviación de una variedad respecto al espacio euclídeo. El tensor de Riemann, que es una función que mide la curvatura de una variedad. La conexión, que es una regla que permite definir la derivada de un campo vectorial a lo largo de otro campo vectorial en una variedad. GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA129 La geodésica, que es la curva más corta entre dos puntos de una variedad. La métrica, que es una forma diferencial que permite medir distancias y ángulos en una variedad. La variedad de Riemann, que es una variedad diferenciable que tiene una métrica definida positiva. El grupo de Lie, que es una variedad diferenciable que tiene una estructura de grupo compatible con la diferenciabilidad. En la Esgrima Láser, la geometría diferencial es usada para el estudio profundo de las naturalezas e interacciones entre las dimensiones de los distintos medios, pues estas precisan de cálculos avanzados que hagan posible la noción y comprensión veraz de la naturaleza de lo posible. ———— BIBLIOGRAFÍA131 BIBLIOGRAFÍA EUCLIDES, ≈ 300 a.C. Elementos. DESCARTES, René, 1637. Discurso del método para bien conducir la razón y buscar la verdad en las ciencias. Editorial Trotta. GARCÍA MERAYO, Félix. 2009. János Bolyai. El geómetra revolucionario. Nivola. 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